§ 1, Пункт 2. Однородные уравнения.
Уравнения, сводящиеся к виду
называются однородными (по степени).
Примечание. Не путать: название
«однородные» будет использоваться ещё
и для других свойств, например, когда
правая часть линейного уравнения равна
0.
Допустим,
.
Как видим, суммарная степень везде
однородна, и равна 3, то есть, если обе
перемнные умножить на k,
то и в числителе и в знаменателе за
скобку выйдет 3 степень:
.
Рекомендуется вспомнить «однородные
функции» в теме «конические поверхности»
в геометрии. Так вот, при таком строении
уравнения, можно привести его к виду,
где будут только блоки типа
.
Вынесем за скобку
и сократим.
.
Докажем, что замена
сводит однородное уравнение к уравнению
с разделяющимися переменными.
,
тогда
=
.
Тогда
преобразуется к
,
далее
Таким образом, свели к уравнению с разделяющимися переменными.
§ 1, Пункт 3. Линейные уравнения.
Уравнение вида
называется линейным.
Если
,
то оно называется линейным однородным.
При этом,
не может быть тождественно равно 0, иначе
вообще нет слагаемого с производной
,
то есть уравнение не являлось бы
дифференциальным. Но тогда можно поделить
всё уравнение на
и свести к виду
.
Линейные однородные уравнения фактически
являются уравнениями с разделяющимися
переменными. Действительно,
,
где
первообразная, с точностью до константы.
В итоге,
,
то есть общее решение линейного
однородного уравнения имеет вид:
константа, умноженная на экспоненту в
степени первообразной от коэффициента
,
взятую с другим знаком.
Пример. Решить уравнение
.
.
Мы видим коэффициент
,
её первообразная
,
соответственно в ответе есть
.
Пример. Решить уравнение
.
Можно рассмотреть
,
первообразная равна
,
тогда
=
.
Впрочем, можно его решить и просто как уравнение с разделяющимися переменными:
.
Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (другое название: метод вариации произвольной постоянной).
Предположим, что на месте C
некоторая неизвестная функция, и ищем
решение в виде:
.
Тогда
.
Подставим эти
в неоднородное уравнение
.
+
.
Два слагаемых получились одинаковые, и они сокращаются, осталось:
=
.
Отсюда можно выразить
.
.
что состоит в итоге из 2 слагаемых:
первообразной от
и константы
.
Поэтому решение однородного обязательно
окажется отдельным слагаемым в общем
решении неоднородного.
.
В конкретных примерах, это выглядит менее громоздко:
Пример. Решить линейное уравнение
.
1 шаг. Решаем соответствующее однородное
уравнение.
.
- общее решение однородного.
2 шаг. Методом Лагранжа решаем неоднородное.
Ищем решение в виде:
.
Ищем производную:
=
.
Всё это подставим в неоднородное:
,
тогда
.
Тогда
=
.
Теперь подставим это в , получается
=
.
Общее решение неоднородного состоит
из двух слагаемых: частное решение
неоднородного (его мы и искали на 2-м
шаге методом Лагранжа) и общее решение
однородного, которое нашли на 1-м шаге,
и оно воспроизвелось само в конце 2-го
шага. Это происходит из-за того, что
всегда ищется с помощью её производной,
а значит, в ней присутствует слагаемое
.
Проверка. Можно подставить частное решение неоднородного, и это слагаемое само по себе тоже является решением:
Выполняется ли ?
=
=
.
Верно.