Получение частотных характеристик.
Частотные
характеристики могут быть получены из
передаточной функции
путем замены комплексной переменной
на
Воспользовавшись
выражением
,
а так же правилом деления двух комплексных
чисел преобразуем получившееся выражение
и выделим действительную и мнимую части
=
Таким
образом мы получили функцию
, которая представляет собой
амплитудно-фазовуя частотную характеристику (АФЧХ).
Далее выделяем из неё действительную частотную характеристику ДЧХ:
и мнимую частотную харакеристику (МЧХ)
По известным ДЧХ и МЧХ находим амплитудно-частотную характеристику АЧХ и фазо-частотную характеристику (ФЧХ)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного гармонического сигнала
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.
АЧХ:
ФЧХ:
Далее построим логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику (ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Боде)- представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.
ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики(ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики(ЛФЧХ), которые обычно располагают друг под другом.
ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления устройства, от частоты в логарифмическом масштабе.
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина
По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах: A_log(w)
ЛФЧХ — это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе:
по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе
по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.
Получение передаточной функции в терминах пространства состояний
Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями.
Для
случая линейной системы c
входами, {\displaystyle
q} 
выходами и {\displaystyle
n} 
переменными состояния описание имеет
вид:
{\displaystyle
{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
{\displaystyle
{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}
Где
{\displaystyle
x(\cdot )} — вектор
состояния,
элементы которого называются состояниями
системы
{\displaystyle
y(\cdot )} — вектор
выхода,
{\displaystyle
u(\cdot )} — вектор
управления,
{\displaystyle
A(\cdot )} — матрица
системы,
{\displaystyle
B(\cdot )} — матрица
управления,
{\displaystyle
C(\cdot )} — матрица
выхода,
{\displaystyle
D(\cdot )} — матрица
прямой связи.
Размерности матриц и векторов
- матрица
- матрица
- матрица
- матрица
Таким образом, для нашей цепи необходимо составить систему дифференциальных уравнений первого порядка, которые описывали бы её.
В
данной цепи изменение двух параметров
описывается дифференциальными
уравнениями: это ток
протекающий через индуктивность
и напряжение
на конденсаторе
.
Эти два параметра и примем за параметры
системы
.
Используя закономерности электротехники, применяемые ранее для данной цепи запишем.
При этом
Сделаем следующие замены
Система примет следующий вид
Далее
выразим
через параметры цепи
По 1-му закону Кирхгофа
По закону Ома
Подставляем в ()
Получаем
Подставляем выражение для в систему уравнений
Составим уравнение описывающее выход объекта:
Таким образом, система уравнений, описывающая данную цепочку в терминах пространства состояний, будет иметь следующий вид с учетом нулевых коэффициентов:
Далее по данной системе уравнений составляем матрицы
Для
проверки воспользуемся формулой перехода
от записи в пространстве состояния к
передаточной функции, предварительно
подставив значение параметров
:
Где,
– единичная матрица , совпадающая по
размеру с матрицей A,
– комплексная переменная,
– матрицы описания объекта в пространстве
состояния
В результате получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2
Получить запись в пространстве состояния можно и другим способом. Сейчас мы получили запись в пространстве состояний основываясь на известных уравнениях электротехники, изначально строя запись в соответствии с стандартной записью
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
Так же запись в пространстве состояний можно получить, если уже имеем дифференциальное уравнение, которое описывает наш объект. В данном случае у нас данное уравнение получено в разделе 1.
Далее рассмотрим общую методику на случай линейной системы с постоянными параметрами одним входом и одним выходом описываемой уравнением
Данное уравнение приведено к виду что бы коэффициент перед старшей производной в левой части был равен 1 .
Далее в сокращенной форме представим получение записи в пространстве состояний. Более подробное объяснение можно получить в соответствующей литературе.
Путем замен понижаем порядок данного дифференциального уравнения, получая при этом систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Делаем следующие замены
,
,
…
Из
первоначального дифференциального
уравнения выражаем производную высшего
порядка, относящуюся к выходной переменной
На основании произведенных замен составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка
………….
Из
данной системы дифференциальных
уравнений получим матрицу A,
состоящую из коэффициентов перед
неизвестными
Далее
необходимо найти коэффициенты
,
которые вычисляются по следующим
формулам
……………………………….
Из этих коэффициентов формируем вектор B
Уравнение выхода
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
в нашем случае запишется следующим образом
Таким
образом, вектор
,
а вектор C
запишется в следующем виде
Количество элементов в векторе С равно n
Получим запись в пространстве состояний для нашего объекта
Делаем следующие замены
,
Выражаем из нашего уравнения вторую производную, делаем соответствующие замены и записываем систему дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнение выхода
Получаем матрицу A
Вектор C
Произведем
расчёт коэффициентов
Таким образом, вектор B запишется как
Вектор
Так же сделаем проверку и воспользуемся формулой перехода от записи в пространстве состояния к передаточной функции, предварительно подставив значение параметров :
В результате снова получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2
Стоит отметить, что разными способами мы получили разные записи в пространстве состояний, при этом передаточная функция получается одинаковой в обоих случаях. Одной передаточной функции может соответствовать множество записей в пространстве состоянии, но записи в пространстве состояний соответствует единственная передаточная функция.