3. Невырожденные матрицы.

3.1. Обратная матрица.

Опр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А^т. Чтобы получить присоединенную матрицу , следует транспонировать матрицу А, а затем все ее элементы заменить их алгебраическими дополнениями, то есть

= (3.1)

Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|0.

Опр. Квадратная матрица А^¹ называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие

А^¹А = АА^¹= Е (3.2)

NB. Обратная матрица А^¹возможна только для невырожденной матрицы А.

Теорема.

Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А^¹, которая находится по формуле

А^¹ = (3.3)

Доказательство.

1) Из определения А^¹А = АА^¹ следует, что А и А^-¹ это квадратные матрицы одного порядка.

Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим

А =  = =

= |A| = |A|E

Следовательно, А = |A|E. Аналогично доказывается, что А = |A|E.

Из А = |A|E  А^¹А ₌А^-¹×|A|E  Е ₌ А^¹|A|  ₌ А^¹|A|  А^¹ = .

2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение АВ=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А^¹ и получим: А^¹АВ = А^¹Е  ЕВ = А^¹Е  В = А^¹. Fin.

Свойства обратной матрицы:

|A^¹| = ;
(AB)^¹ = B^¹A^¹;
(A^¹)^т= (А^т)^¹.

3.1.1. Вычисление обратной матрицы а1 с помощью присоединенной матрицы .

Для этого необходимо:

1) Вычислить определитель |A|. Если |A|=0, следовательно матрица А – вырожденная и для нее нет обратной матрицы А^¹. Если же |A|0 , то следует выполнить следующие действия.

2) Вычислить алгебраические дополнения A_ij всех элементов a_ij матрицы А и построить матрицу А_А, в которой на местах элементов a_ij будут стоять их алгебраические дополнения A_ij:

А_А =