Образец выполнения индивидуальной домашней работы (идр).

1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество = 0

Решение. Пользуясь свойствами определителей 7), 4) и 6), получим

= + = x +2x = 0 + 0 = 0.

2) Дано: А = . Найти А^Т; АА^Т и А.

Решение.

1 ) А^Т = ; 2) АА^Т =  = = ; 3)  А= = = =2 = 2 = 2 = 2(12) = 24.

3) Решить квадратную СЛАУ .

а) матричным способом;

б) по формулам Крамера.

3а) Решение квадратной СЛАУ матричным способом

В этой СЛАУ А= .

α) Методом элементарных преобразований найдем обратную матрицу А^1:

( A|E) = ~ ~ ~

~ ^3 ~ ~  А^1=

β) Проверка: А^1А =  = = Е

γ) По формуле (4.3) находим решение СЛАУ:

Х=А^1В  =   х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 1

δ) Проверка. Подставляя значения х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 1 в исходную систему уравнений, получим

21+32+5(-1)=3  33

1+2+(1)=2  22

1+322(1)=9  99

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 1.

3б) Решение квадратной СЛАУ по формулам Крамера:

Главный определитель системы равен

 = = = = = 9  0  данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

 ₁ = =  =  =  = = 9 

 х₁ = = 1.

 ₂ = = = =  = 18  х₂ = = 2.

 ₃ = = = =  = 9  х₃ = = 1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 1.

4) Выполнить действия над матрицами: (А^1)² + ВА, если А= , В= .

а) Методом элементарных преобразований над строками найдем обратную матрицу А^1.

Р ешение: а) А_Е=(A|E)= ^1 ~ ~ ~ ~ ^1 ~

~ ~  А^1= .

Проверка: А^1А =  = = Е;

б) (А^1)² =  = ;

в) ВА =  = ; г) (А^1)² + ВА = + = = .

5) Найти значения , для которых существует обратная матрица А^1, если А= .

Решение. Обратная матрица А^1 существует, когда исходная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель А  0. Найдем значения , при которых определитель А = 0 и, исключив их, определим те значения , при которых обратная матрица А^1 существует. Для этого разложим определитель данной матрицы по 3–му столбцу, так как он содержит только один ненулевой элемент (λ–2):

= (1)⁶(2) = (2)((2)² 1) = 0

а)  = 2; б) (2)²  –1 = 0  ²  4 + 3 = 0  = 1; 3.

Таким образом, при  = 1; 2; 3 обратная матрица А^1 не существует. Значит, она существует во всех остальных случаях, когда   1; 2; 3.

Ответ: Обратная матрица А^1 существует при   1; 2; 3.

6) Найти ранг r(А) матрицы А, если А= .

Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.

А = ~ ~ ~

~ = В  r(A) = r(B) = 3. Ответ: r(A) = 3

7(а) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  Число неизвестных n = 4 = r(A) = =r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матриц равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка:

2(-2)21+3+3=0  00

2(-2)+31+433+6=0  00

3(-2)+414+23=0  00

2+31+432=0  00

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 1, х₃ = 4, х₄ = 3.

7(б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_2 ~ ~ ~ ~  Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная система совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то нужно выбрать базисные неизвестные. В качестве базисных можно взять неизвестные х₁, х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = = 11  0.

Следовательно, остальные неизвестные х₃, х₄ – свободные. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: пусть х₃ = с₃, х₄ = с₄. Перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х₁ и х₂:

Ответ: х₁ = 1/11(114с₃+2с₄); х₂ = 1/11(26с₃7с₄); х₃ = с₃; х₄ = с₄

8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_3 ~ ~ = B

Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B), тогда, по теореме 1 (п.4.6), однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ

Чтобы решить ее, в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х₁ и х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = =10. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х₃ = с₃, х₄ = с₄, и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.

Ответ: х₁ = 2с₃с₄; х₂ = 3с₃+2с₄; х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄  const.