4.6. Однородная слау.
В однородной СЛАУ столбец свободных членов равен нулю. Эта СЛАУ имеет вид
(4.8)
В однородной СЛАУ нулевой столбец не меняется при элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы. Поэтому в ней ранг матрицы коэффициентов всегда равен рангу расширенной матрицы: r(A) = r(A|B). Тогда, по теореме Кронекера-Капелли любая однородная СЛАУ всегда совместна и, согласно ее виду (4.8), всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: х1 = … = хn = 0. Если при этом ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных (r(A) = n), то для однородной СЛАУ нулевое решение является единственно возможным.
Теорема 1.
Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных (r(A) < n).
Доказательство.
1)
Необходимость. Предположим обратное,
то есть, что r(A)
= n, где n –
число неизвестных. Тогда порядок
базисного минора Mn
будет равен n, так как
r(Mn)
= r(A) = n.
Следовательно, по формулам Крамера
однородная СЛАУ будет иметь единственное
решение – нулевое: xi
=
= 0, где i
= 0, а
0.
Таким образом, при r(A)
= n однородная СЛАУ ненулевых
решений не имеет.
2) Достаточность. Пусть r(A) < n, тогда по следствию 2 теоремы Кронекера-Капелли однородная СЛАУ будет совместной и неопределенной, то есть она будет иметь бесконечное множество решений, в том числе и ненулевых. Fin.
Теорема 2.
Для того, чтобы квадратная однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель равнялся нулю ( = 0).
Доказательство.
1) Необходимость. По вышеприведенной теореме 1, если однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, то ранг ее матрицы коэффициентов должен быть меньше числа неизвестных (r(A) < n). Следовательно, главный определитель квадратной однородной СЛАУ должен быть равен нулю ( = 0).
2) Достаточность. Если главный определитель квадратной однородной СЛАУ равен нулю ( = 0), то ранг ее матрицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных (r(A) < n). Поэтому такая СЛАУ имеет бесконечное множество ненулевых решений. Fin.
Пример. Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.
Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.
3
~
~
= B
Число неизвестных n = 4 >
2 = r(A) = r(АВ),
тогда по теореме 1 однородная СЛАУ помимо
нулевого решения имеет и ненулевые
решения. Найдем их. Полученной ступенчатой
расширенной матрице В соответствует
ступенчатая СЛАУ
Чтобы решить ее, в качестве базисных
можно взять неизвестные х1 и х2,
так как коэффициенты при них образуют
один из базисных миноров М2 =
= 1 0. Следовательно,
остальные неизвестные – свободные.
Переобозначим их: х3 = с3, х4
= с4 и перенесем в правую часть
соответствующих уравнений.
Ответ: х1 = 2с3с4; х2 = 3с3+2с4; х3 = с3; х4 = с4, где с3, с4 const.
Приложение 1.
Индивидуальная домашняя работа (идр) по теме: «Линейная алгебра».
1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество.
2) Вычислить АТ; ААТ и А.
3) Решить квадратную СЛАУ:
а) с помощью обратной матрицы;
б) по формулам Крамера.
4) Выполнить действия над матрицами.
5) Найти значения , для которых существует обратная матрица А1.
6) Найти ранг r(A) матрицы А.
7(а, б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.
8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.
Вариант 1.
1)
2) А =
3)
4) А=
;
В=
;
А2 В1A=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 2.
1)
2) А =
3)
4) А=
;
В=
;
(АB)1
+ BA1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 3.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; АВ1 + 2BA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 4.
1)
2) А =
3)
4) А=
;
В=
;
А1B
AB1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 5.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; А2 В1A=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 6.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; А2 ВA1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 7.
1)
=2
2) А =
3)
4) А= ; В= ; АB1 + ВA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 8.
1)
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; BA1 AB1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 9.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; 2(АB)1 AВ = ?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 10.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; 2В1A + BA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 11.
1)
=0
2) А =
3)
4) А= ; В= ; 2(BА)1 + ВA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 12.
1)
=0
2) А =
3)
4) А= ; В= ; АB1 + 2(BA)1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 13.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; B1А + ВА1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 14.
1)
=0
2) А =
3)
4) А= ; В= ; ВA1 + BА=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 15.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; А1B + В1А=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 16.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; АВ В1А1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 17.
1)
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; (BA)1 + AB1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 18.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; В1A + 2AB=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 19.
1)
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; A1B + BA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 20.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; (АВ)1 + AB=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 21.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; BА1 ВA=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 22.
1)
=
2) А =
3)
4) А= ; В= ; АB1 + (AB)1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 23.
1)
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; BA1 AB1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 24.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; 2АB1 + A1В = ?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 25.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; 2В1A + BA1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 26.
1)
=0
2) А =
3)
4) А= ; В= ; (BА)1 2AВ=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 27.
1)
=0
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; B1A + (AB)1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 28.
1)
2) А =
3)
4) А= ; В= ; А1B + AВ1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 29.
1)
=0
2)
А =
3)
4) А=
;
В=
;
B1A
(BA)1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Вариант 30.
1)
2)
А =
3)
4) А= ; В= ; (BA)1 BA1=?
5) А=
6) А=
;
r(A)=?
7(а)
7(б)
8)
Приложение 2.