1. Матрицы

1.1. Основные понятия.

Опр. Числовая матрица размерности mn – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Строки матрицы – это горизонтальные ряды чисел, столбцы матрицы – это вертикальные ряды чисел. Числа матрицы называются элементами матрицы. Матрицы обычно заключены в круглые скобки.

Обозначаются матрицы заглавными буквами латинского алфавита, а их элементы  соответствующими малыми буквами с двумя индексами. Например, для матрицы А, ее элементы обозначаются символами а_ij, где первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца данного элемента (i = ; j = ) (рис.1.1).

j

i

Рисунок 1.1

Матрица А размерности mn кратко обозначается символом A_mn и имеет вид

A_mn =

1.2. Виды матриц.

Если в матрице A_mn число строк не равно числу столбцов (m n), то такая матрица называется прямоугольной, а если m = n, то такая матрица называется квадратной матрицей n-го порядка и она обозначается символом A_n :

A_n =

NB. Квадратная матрица 1-го порядка А₁ состоит из одного элемента а₁₁.

Матрица, состоящая из одной строки (m=1), называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Например,

A_1n = (a₁₁ a₁₂ … a_1n)

Матрица, состоящая из одного столбца (n = 1), называется матрицей–столбцом или столбцевой матрицей. Например,

A_m1 =

Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается буквой О:

О =

NB. В матричном исчислении нулевая матрица играет ту же роль, что и число 0 в арифметике.

1.3. Квадратные матрицы.

Элементы с одинаковыми индексами a_11, а₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ квадратной матрицы. Поэтому эти элементы называются диагональными элементами. Геометрически главная диагональ проходит через левый верхний и правый нижний угол квадратной матрицы (рис.1.2).

Рисунок 1.2

Соответственно побочная диагональ квадратной матрицы проходит через ее правый верхний и левый нижний угол (рис.1.3).

Рисунок 1.3

Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие вне главной диагонали равны нулю.

A =

NB. В диагональной матрице среди ее диагональных элементов могут быть и нули, но только не на концах главной диагонали, т.е. а₁₁0, а_nn0.

Частным случаем диагональной матрицы является единичная матрица. Единичная матрица ­­ это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Она обозначается буквой Е.

E =

Ее краткое обозначение E = , где _ij – это символ Кронекера,

NB. В матричном исчислении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 в арифметике.

Треугольная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. В верхней треугольной матрице равны нулю все элементы, расположенные ниже главной диагонали. В нижней треугольной матрице равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали.