2.5. Вычисление площадей плоских фигур
2.5.1.. Случай кривой, заданной явно.
Ранее было отмечено,
что геометрическим смыслом определенного
интеграла является площадь криволинейной
трапеции, ограниченной с боков прямыми
и
,
снизу осью OX,
а сверху графиком неотрицательной
кривой
.
Заметим, что если кривая располагается
ниже оси ОХ, то
.
\
Рассмотрим случай
криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком функции
,
снизу графиком функции
и прямыми
и
,
учитывая, что
.
Тогда с учетом – аддитивности по функции определенного интеграла имеем
.
Если фигура не может быть представлена в виде криволинейной трапеции, но ее можно разбить на несколько криволинейных трапеций, то площадь такой фигуры равна сумме определенных интегралов, вычисленных для каждой трапеции отдельно.
Пример 1. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболами
и
.
Найдем точки
пересечения этих парабол, для этого
приравняем их правые части 
.
Решаем это уравнение и находим его корни
,
следовательно , приравнивая к нулю
каждый из сомножителей, получаем 
и
.
Учитывая, что при
,
парабола
располагается выше параболы
,
имеем
.
Пример 2. Вычислить
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривыми
и
.
Нарисуем заданную
фигуру. Для этого найдем точки пересечения
параболы с прямой. Точка пересечения
верхней ветви кривой
и прямой
находится из
уравнения
,
одним из корней
которого
является x=1.
Для получения точки пересечения нижней
ветви параболы
и прямой
решаем уравнение
.
Выбирая неотрицательный корень этого
уравнения, получим вторую точку
пересечения x=9.
Так как при переходе
через прямую x=1
верхняя граница области меняется с
кривой
на прямую
,
то удобно разбить эту область на две,
т.е.
.
Вычислим площадь левой части фигуры
.
Вычислим площадь
правой части фигуры
.
Окончательно
получаем,
.
2.5.2. Случай кривой, заданной параметрически.
Если криволинейная
трапеция ограничена сверху кривой,
заданной параметрически, т.е.
,
причем
,
сбоку прямыми
и
и снизу осью ОХ, то площадь такой фигуры
находится по формуле
Пример 1.
Вычислить площадь четверти круга,
заданного
.
Принимая за
и
и учитывая, что кривая задана параметрически,
получим 
2.5.3. Случай кривой, заданной в полярных координатах.
Рассмотрим площадь
криволинейного сектора, ограниченного
двумя лучами
и непрерывной линией
,
где
и
- полярные координаты, определяемые
системой
.
Площадь фигуры, являющейся криволинейным сектором вычисляется по формуле
.
Пример. Найти
площадь фигуры, ограниченной кривой
.
Данная фигура представляет собой «трехлепестковую» розу, все лепестки которой выходят из точки начала координат. Так как все три лепестка имеют одинаковую форму , найдем площадь одного лепестка и затем умножим полученное значение на три.
Окончательно, 
.
2.6. Вычисление длины дуги плоской кривой.
2.6.1. Случай кривой, заданной явно.
Рассмотрим плоскую
кривую, уравнение которой имеет вид
Если функция
является гладкой (т.е. непрерывно
дифференцируемой) на
,
то длина дуги этой кривой вычисляется
по формуле
.
Пример.
Вычислить длину дуги параболы
,
заключенной между точками (0,0) и (4,8).
Так как кривая
задана неявно, то необходимо сначала
выделить явно y
относительно x,
получим
.
Отсюда
.
Абсцисса текущей точки параболы меняется
в пределах от 0 до 4, т.е.
,
поэтому формула для вычисления длины
дуги кривой примет вид
.
Возьмем этот определенный интеграл
