4.2.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
В основе интегрирования этих функций лежит выделение полного квадрата в квадратном трехчлене, и приведение их к следующим табличным интегралам
;
;
;
или интегралам, берущимся интегрированием по частям или заведением под знак дифференциала.
В основе выделения полного квадрата лежат формулы квадрата суммы и квадрата разности:
x2 +2xb+b2=(x+b)2
x2 -2xb+b2=(x-b)2
В исходном квадратном трехчлене нужно объединить слагаемое, содержащее квадрат переменной, и слагаемое первой степени. Затем слагаемое первой степени надо представить в виде 2bx и вычислить значение b. После этого добавляем и одновременно вычитаем b2. Первые три слагаемые будут представлять квадрат суммы или квадрат разности. Продемонстрируем этот процесс на конкретном примере:
3x2-8x+7=3(x2-8/3 x)+7=3(x2 -2*4/3 x)+7=3(x2-2*4/3 x +(4/3)2-(4/3)2) +7 =
=3 (x2 – 2*4/3 x+16/9) -3*16/9 +7= 3(x – 4/3)2 -16/3 +21/3= 3 (x – 4/3)2 + 5/3.
Примеры.
1.
2.
.
3.
4.
Интегралы вида
и
сводятся
к рассмотренным интегралам с помощью
подстановки
.
Примеры.
1.
2.
4.3. Интегрирование тригонометрических функций.
Рассмотрим некоторые
случаи нахождения интеграла от
тригонометрических функций. Функцию с
переменными
и
,
над которыми выполняются алгебраические
действия (сложения, вычитание, умножение
и деление) принято обозначать
.
а) Вычисление
неопределенного интеграла типа
,
где
-
дробно-рациональная функция относительно
переменных
и
,
сводится к вычислению интегралов от
рациональной функции универсальной
тригонометрической подстановкой
,
при этом надо помнить, что
, 
, 
, 
. Учитывая
эти формулы, интеграл можно переписать
в виде 
,
где
- рациональная функция от переменной
t.
Пример
Заметим, что этот метод всегда приводит к результату, но является очень трудоемким, поэтому чаще, на практике, применяют и другие подстановки, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции.
б) Если подынтегральная
функция
- нечетна относительно sinx,
т.е.
,
то применяют подстановку
Пример. Вычислить
интеграл
Подынтегральная
функция – нечетна относительно синуса,
так как
.
Применяя подстановку
,
получаем, что
,
и
.
Тогда
в) Если подынтегральная
функция нечетна относительно cosx,
т.е.
,
то удобнее применять подстановку
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Подынтегральная
функция – нечетна относительно cosx,
т.к.
.
Применяем подстановку
,
получаем, что
,
,
г) Если подынтегральная
функция – четна относительно sinx
и cosx,
т.е. выполняется равенство
,
то применяют подстановку
Пример.
Вычислить интеграл
Следовательно,
подынтегральная функция – четна
относительно sinx
и cosx.
Делаем подстановку
,
.
.
д) Если подынтегральная функция является произведением синусов и косинусов , то применяют следующие тригонометрические формулы:
;
;
.
Пример.
Вычислить интеграл 
е) Интегралы вида
,
где хотя бы одно из чисел m
или n
– нечетное положительное, приводятся
к табличным интегралам путем отделения
от нечетной степени одного сомножителя
и выражения с помощью основного
тригонометрического тождества
оставшейся четной степени через
дополнительную функцию.
Если обе степени m или n – четные неотрицательные числа, то необходимо применить тригонометрические формулы понижения степени:
Примеры.
1.
2.
3.
В общем случае интегралы вида , где m и n – целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
Пример. Вывести
рекуррентную формулу для вычисления
и с ее помощью найти
.
Обозначим 
.
Следовательно,
- рекуррентная формула.
В частности, при
получаем
ж) Интегралы вида
и
, где
и
,
берутся с помощью подстановок,
соответственно
или
.
При этом надо учитывать, что 
и
.
Пример.
я