Российская Академия Народного Хозяйства и Государственной Службы
Северо-Западный Институт Управления
Кафедра Бизнес-Информатики, математических
и статистических методов
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Интегральное исчисление
Санкт-Петербург
2014
В данном пособии рассматриваются основные методы и приёмы интегрирования. Материал дополнен большим количеством примеров. Для отработки и закрепления навыков вычисления интегралов студентам предлагаются варианты контрольных работ по темам «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Приложения определенного интеграла».
Глава 1. Неопределенный интеграл.
1. Основные определения.
Операция интегрирования является обратной к дифференцированию.
В основе интегрального исчисления лежит решение важнейшей задачи: найти функцию F(x), зная её производную F’(x)=f(x).
Определение.
Функция F(x)
называется первообразной
функции f(x)
в интервале (a;b),
если для любого
выполняется равенство
или
.
Если функция f(x)
непрерывна, то она имеет бесконечное
множество первообразных, отличающихся
друг от друга на постоянную величину,
так как 
,
где С – константа.
Определение.
Множество всех первообразных функции
f(x)
называется неопределенным
интегралом от функции f(x)
и обозначается
.
Таким образом, по
определению 
.
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а x – переменной интегрирования. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Приведем основные свойства неопределённого интеграла:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
Существует целый ряд специальных приёмов и методов интегрирования, в основе которых лежит идея приведения интеграла к табличному виду. Поэтому необходимым условием для успешного освоения методов интегрирования является безукоризненное знание таблицы основных интегралов. Кроме этого важной составляющей для успешного интегрирования является свободное владение навыками дифференцирования.
Таблица основных интегралов
1. 
,
где 
;
1.1 
;
1.2. 
;
1.3. 
;
1.4. 
;
2. 
;
3. 
,
где 
;
3.1. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
,
где 
;
11. 
, где
;
12. 
, где 
;
13. 
.
Заметим, что при вычислении неопределенного интеграла вида модуль ставить необязательно, однако, в дальнейшем, при вычислении определенного интеграла может получиться логарифм от отрицательного числа, поэтому лучше пользоваться предложенной версией.
Во многих справочниках по математике приведены более подробные таблицы интегралов (например, Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.. «Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов» - М.: Наука, 1980), которыми также рекомендуется научиться пользоваться.
2. Простейшие приемы интегрирования.
2.1. Непосредственное интегрирование
Объединённые
воедино свойство 4. и 5. , образуют свойство
линейности интеграла
,
суть которого состоит в том, что неопределенный интеграл от суммы можно находить почленно.
Сущность непосредственного интегрирования состоит в преобразовании исходного интеграла с помощью алгебраических и тригонометрических действий, а также свойства линейности интеграла к табличному виду.
Примеры.
1. 
.
2. 
=
3. 
4. 
5. 
Используя свойство
дифференциала
,
где 
, с
помощью непосредственного интегрирования
можно вычислять и интегралы вида
6. 
7. 
