Лекция 2. Практическое использование основ линейного программирования в выборе оптимального управленческого решения

1. Построение экономико-математических моделей практических задач в различных областях экономики и управления

2. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

3. Решение задачи о назначениях.

2.1.Эффективность решения большинства экономических задач зависит от наилучшего способа использования ресурсов (деньги, товары (услуги), сырье, оборудование).

В качестве метода оптимизации используется линейное программирование.

Линейное программирование – это математический метод поиска максимума или минимума целевой функции при наличие системы ограничений.

Управленческое решение, которое удовлетворяет условия задания и соответствует цели, называют оптимальным.

Оптимизационная задача содержит 2 составляющие:

- целевую функцию

- систему ограничений

F (х_1, х_2, х_3, х_4,….. х_n,)→max (min)

φ₁(х₁, х₂, …х_n) {≤, =, ≥} b₁

φ₂(х₁, х₂, …х_n) {≤, =, ≥} b₂

φ₃(х₁, х₂, …х_n) {≤, =, ≥} b₃

_{……………………………………….}

φ_m(х₁, х₂, …х_n) {≤, =, ≥} b_m

b_m – заданные постоянные величины

Основная процедура формулировки задач линейного программирования состоит из 4 этапов:

1. Определение переменных задачи, значения которых нужно получить в пределах существующих ограничений.

2. Определение цели и ограничений на ресурсы.

3. Описание цели через переменные задачи.

4. Описание ограничений через переменные задачи

Пример 1(Производственная задача)

Предприятие может выпускать три вида продукции – А. В. С.

Производственные возможности предприятия характеризуются следующими данными:

а) суточный фонд рабочего времени оборудования – 800 часов;

б) суточный расход сырья – 850 т;

в) суточный расход электроэнергии – 600 кВт - часов

Известны нормы затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида и оптовые цены . Постройте экономико-математическую модель задачи, обеспечивающую максимальный доход от реализации продукции.

Таблица 1

Ресурсы	Нормы затрат на единицу продукции
	А	В	С
Оборудование (час)	4	2	3
Сырье (т)	5	1	4
Электроэнергия (кВт·час)	2	3	4
max прогнозное значение спроса	70	55	25
Оптовая цена, грн.	10	9	8

Решение

1. Обозначим через х_j количество единиц продукции j-го вида, запланированных к производству.

х₁ - продукции А х₂- продукции В х₃- продукции С

2. Цель - максимизация дохода от реализации продукции, объем производства ограничен количеством (оборудования, сырья, электроэнергии) и максимальным прогнозным спросом на продукцию.

3. F (x)= 10х₁+9х₂ + 8х₃ → max

4

4 х₁ + 2х₂ +3х₃ ≤ 800 х₁≤70, х ₂ ≤55, х₃ ≤25

5х1 + 1х2 + 4 х3 ≤ 850

2х1 + 3х2 + 4 х3 ≤ 600

х₁, х ₂ , х₃ ≥ 0 (условие неотрицательности)

.

Пример 2. Предполагается к реализации 4 инвестиционных проектов Р_{1 ,} Р_{2 ,} Р_{3 ,} Р₄

Экономические оценки ожидаемого эффекта от их реализации составляют С_j

Необходимая величина капиталовложений - g.

Общий объем возможных инвестиций ограничен величиною G.

Как распорядится имеющимися финансовыми ресурсами, чтобы максимизировать суммарных эффект от инвестиций? (составить экономико-математическую модель задачи).

Проект	С, млн.грн.	g, млн..грн.	G
Р1	48	22	60 млн.грн.
Р2	55	25
Р3 ,	45	20
Р4	39	17