§21 Характеристики поля – напряженность и потенциал Напряженность поля

Основными характеристиками любого потенциального поля в каж­дой его точке являются напряженность Е и потенциал .

Напряженность — силовая характеристика поля, величина вектор­ная. Например, под напряженностью гравитационного поля понимают силу, действующую в данной точке поля на тело единичной массы:

(1.72)

Векторы напряженности и силы совпадают по направлению.

В гравитационном поле на тела действуют силы, пропорциональные массе тел:

F = g

или в скалярной форме

F = mg

откуда

(1.73)

т. е. отношение силы, действующей на тело массой т в какой-либо точке поля, к массе тела определяет ускорение свободного падения в данной точке поля. Сравнивая формулы (1.68) и (1.73), получаем

(1.74)

[Rз — радиус поверхности Земли, масса которой М; h — расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли].

Из этой формулы вытекает, что, во-первых, ускорение свободного падения не зависит от массы и размеров тела и, во-вторых, изменяется с высотой h поднятия тела над поверхностью Земли.

Потенциал поля

Это его энергетическая характеристика, величина скалярная. Потен­циал поля, например гравитационного, определяется потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

(1.75)

или потенциал определяется работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Вычислим работу, совершаемую силами поля тяготения при удале­нии тела массой т от Земли.

При перемещении этого тела на расстоянии 6R совершается работа

, но

поэтому

(1.76)

[M – масса земли]

Сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению, поэтому в формуле (1.76) появляется знак минус.

При перемещении тела от R₁ до R₂ совершается работа

(1.77)

Сравнивая (1.69) и (1.77), получаем

,

Если точка поля находится в бесконечности , то

тогда (1.77) можно записать в виде

Так как первая точка была выбрана произвольно, то потенциальная энер­гия тела массой т в любой точке

(1.78)

Следовательно, потенциал поля тяготения

(1.79)

[R — расстояние от центра Земли до рассматриваемой точки поля].

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называ­ют эквипотенциальной поверхностью.

Из (1.79) следует, что такой поверхностью является сфера (R = = const).

Между силовой (Е) и энергетической ( ) характеристиками потен­циального поля существует связь:

или

[s — расстояние от источника центральной силы до рассматриваемой точки поля].

Таким образом, напряженность поля в данной точке равна минус градиенту потенциала:

(1.80)

Знак минус указывает, что вектор напряженности направлен в сто­рону убывания потенциала. Формула (1.80) является следствием форму­лы (1.71).

Из потенциальности поля следует, что циркуляция вектора напря­женности по любому замкнутому контуру всегда равна нулю (рис. 1.18):

т .к.

[ и - потенциал точек A и B, т.е. ]