§17 Работа внешних сил при вращении твердого тела

При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменя­ется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению ки­нетической энергии тела:

Учитывая, что , , имеем

(1.63)

Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол равна

(1.64)

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внеш­них сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

§18 Закон сохранения момента импульса

При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью [r_i — радиус окружности, которую описыва­ет частица массой m_i, — угловая скорость, одинаковая для всех точек тела]. Момент импульса частицы .

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частиц:

(1.65)

• Единица момента силы - -метр в квадрате (кг • м²/с).

Момент импульса — вектор, совпадающий по направлению с век­тором угловой скорости.

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систе­му тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т. е. M=0, то dL=0 и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной {закон сохранения момента импульса):

, (1.66)

Допустим, что у вращающегося тела вследствие каких-либо причин происходит увеличение момента инерции, что приводит к уменьшению угловой скорости.

Согласно выражению (1.66), можно записать где J₁ и — момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, J₂ и — в момент времени t.

Закон сохранения момента импульса связан с однородностью и изо­тропностью пространства, т. е. этот закон можно получить из второго закона Ньютона, если к нему добавить соответствующие свойства сим­метрии пространства. Под однородностью пространства понимают рав­ноправность всех точек пространства. Под изотропностью пространст­ва понимают равноправность всех направлений в пространстве. Про­странство как таковое не может изменить импульс из-за отсутствия вы­деленных в пространстве точек в силу их равноправия. Изменение им­пульса (и момента импульса) всегда связано с силой, т. е. с взаимодейст­вием тел.

Задачи

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

27. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой ско­ростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Дано: m = 300 г = 0,3 кг; l = 50 см = 0,5 м; = 10 с^-1

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Найти:

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

решение:

→→→ Используем закон сохранения момента импульса

(1)

[J₁ — момент инерции стержня относительно оси вращения].

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса оста­ется постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относитель­но оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится в соот­ветствии с (1):

(2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

(3)

По теореме Штейнера

[J — момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ — мо­мент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d — расстояние от центра масс до выбранной оси вращения].

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

, (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

откуда

вычисления:

Ответ: =

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

28. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под дейст­вием тормозящего момента маховик остановился. Найдите:

a. тормозящий мо­мент;

b. число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Дано: =0; m = 4 кг; n = 720 мин~' = 12 ; = 30 с; R = 0,4 м.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Найти: a. M

b. N

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

решение:

→→→ Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

(1)

[J— момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; — изменение угловой скорости за промежуток времени ]. По условию задачи

[ — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость = 0].

Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда и . Момент инерции маховика

[m — масса маховика; R — его радиус].

Тогда формула (1) примет вид , откуда

Угол поворота, т. е. угловой путь <р, за время вращения маховика до оста­новки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

(2)

[ — угловое ускорение].

По условию задачи, Тогда [см.(2)]

т.к. , , то число полных оборотов

Вычисления:

Ответ: a. M=1,61 Hм

b. N=180

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =