4.3. Статистическая оценка случайной погрешности прямых измерений
О причинах появления случайной погрешности и её природе отмечалось ранее (с. 8). К этому необходимо добавить следующее.
Начинающий экспериментатор обычно списывает с индикатора цифрового прибора результат измерения, указывая в нём 4-5 значащих цифр. Однако несмотря на применение точных приборов, например, электронного секундомера, который в сочетании с фотоэлементами позволяет с высокой точностью фиксировать моменты начала и окончания движения, измерение времени содержит значительную случайную погрешность. Причина в том, что время движения тела случайным образом зависит от целого ряда факторов: как точно установлена начальная высота; каковы силы трения и сопротивления воздуха; как, скажем, сбалансирован блок и какое положение он занимает в начале опыта, когда разбаланс либо помогает, либо тормозит движение; поступательно или с колебаниями движется груз и т.д. При этом следует иметь в виду, что влияние вышеперечисленных факторов будет тем заметнее, чем меньше масса добавочного груза или чем меньше действующие в системе силы.
Другой пример.
Измеряется диаметр вала штангенциркулем с приборной погрешностью s=0,05 мм, но это не значит, что точность результата будет так высока по той простой причине, что диаметр вала может оказаться неодинаков в различных точках, если форма вала не является строго цилиндрической.
Предлагается следующий план расчёта случайной погрешности.
1. Пусть проведена серия измерений величины х: х1, х2, xN (в опытах это будет время, диаметр оси и т.п.). Результаты измерений внесите в табл. 4.
Таблица 4
-
N
x
x-
(x-
1
2
…
…
…
=
Сумма:
2.
Рассчитайте среднее значение
по
формуле (14), отклонение от среднего
каждого измерения (х-
),
его квадрат (х-
)2
и найдите сумму квадратов отклонений
3. Вычислите среднее квадратическое отклонение по формуле (16). Если проведено большое число измерений (N >20), полученное значение <т можно принять за доверительный интервал с вероятностью Р=0,68.
4. Если же проведено небольшое число измерений (N<20) или если Вас не устраивает такая надёжность, то для расчёта доверительного интервала следует воспользоваться распределением Стьюдента. Задайте несколько значений вероятности, по табл. 3 найдите соответствующие значения коэффициентов Стьюдента tP,N и вычислите доверительный интервал по формуле (17).
Результаты расчётов удобно свести в табл. 5.
Доверительная вероятность |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
Коэффициент Стьюдента tP,N |
|
|
|
|
|
Доверительный интервал |
|
|
|
|
|
5. По полученным результатам сделайте вывод о зависимости ширины доверительного интервала от требуемой доверительной вероятности.