4. Статистическая обработка прямых измерений

4.1 Доверительный интервал и доверительная вероятность

При проведении серии измерений результаты отдельных измерений х, расположатся вблизи неизвестного истинного значения х так, что их отклонения в сторону больших или меньших значений будут равновероятны. При этом наилучшим приближением к истинному значению является среднее арифметическое из N измерений:

(14)

Результат измерения принято указывать в виде доверительного интервала значений измеряемой величины, в пределах которого с определённой вероятностью находится истинное значение х (см. формулу 1). Для доверительного интервала обязательно указывают количественную характеристику его достоверности -доверительную вероятность Р. Под вероятностью обычно понимают отношение количества опытов, дающих указанный в интервале результат, к общему числу проведенных опытов, либо вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится внутри доверительного интервала, вблизи полученного среднего значения.

Распространённый способ записи результата измерений с помощью доверительного интервала

(15)

где - среднее квадратическое отклонение (СКО).

Случайная составляющая величины СКО рассчитывается по формуле

(16)

Этой случайной погрешности при большом числе измерений N соответствует доверительный интервал (16) с вероятностью Р=0,68.

Из формулы (16) видно, что рост числа измерений N ведёт к снижению погрешности результата Однако увеличивать число измерений для повышения точности результата имеет смысл до тех пор, пока случайная погрешность, связанная с разбросом опытных данных, велика по сравнению с систематической (приборной) составляющей СКО, которая равна

Если преобладает приборная погрешность, то повторные измерения дадут один и тот же результат. В этом случае делают 2-3 измерения, чтобы убедиться в отсутствии промаха и малости случайной погрешности, и указывают только систематическую составляющую СКО.

4.2 Коэффициент Стьюдента

Величина СКО удобна тем, что с её помощью можно найти границу доверительного интервала с желаемой доверительной вероятностью Р. Для этого используется соотношение

(17)

где t_P,_N - коэффициент Стьюдента. Значения t_P,_N приведены в табл. 3 и определяются как доверительной вероятностью Р, так и числом проведённых измерений N.

Таблица 3

Число измерений	Коэффициенты Стьюдента tP,N Доверительная вероятность Р
	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,95	0,99
2	1,00	1,38	2,01	3,1	3,3	12,7	63,5
3	0,82	1,06	1,31	1,9	2,9	4,3	9,9
4	0,77	0,98	1,25	1,6	2,4	3,2	5,8
5	0,74	0,94	1,21	1,5	2,1	2,8	4,6
6	0,73	0,92	1,20	1,5	2,0	2,6	4,0
7	0,72	0,90	1,12	1,4	1,9	2,4	3,7
8	0,71	0,90	1,11	1,4	1,9	2,4	3,5
9	0,70	0,88	1,11	1,4	1,9	2,3	3,4
	0,67	0,84	1,01	1,3	1,6	2,0	2,6

Пример. В серии из 5 измерений времени t секундомером с ценой деления С=0,2 с получены значения: 28,5; 28,3; 28,0; 28,9; 28,3 с. Рассчитаем доверитель­ный интервал с доверительной вероятностью Р=0,95. Для этого найдём среднее значение

Его среднее квадратическое отклонение

Систематическая составляющая величины СКО ,

где = С -систематическая погрешность, равная цене деления ( С=0,2 с).

Затем для Р=0,95 и N=5 из табл. 3 найдём коэффициент Стьюдента t_P,N= 2,8 и рассчитаем

Результат измерения запишем в следующем виде:

; P=0,95

Другой менее употребительный вариант записи: t=28,4 с; =0,4 с; Р=0,95.