3.2 Определение параметров линейной зависимости

Для определения параметров опытной прямой обычно используют один из двух распространённых методов: 1) приближённый метод, использующий отсчитанные по шкале графика отрезки; 2) статистический метод наименьших квадра­тов (МНК). Рассмотрим первый из этих методов.

Пусть измеренные величины х и у связаны линейной зависимостью вида .у = К_х + b и нужно определить её параметры К и b. Простейший метод состоит в следующем. Опытные точки наносят на график и проводят прямую линию, руководствуясь правилами построения графика (п. 5). На концах проведённой линии выбирают две произвольные точки а и b, удобные для отсчёта интервалов (х_б-х_а) и (y_б-y_а).

Заметим, что точность расчёта величины К тем выше, чем дальше точки а и b друг от друга. Для снижения погрешности отсчёта по графику и для простоты расчёта значения К удобно точку а взять на одной из осей, а точку b - так, чтобы отрезок (х_б-х_а) выражался целым числом.

Среднее значение углового коэффициента

(8)

Параметр b линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью у, если ось х начинается с нуля. Можно найти величину b и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки графика:

(9)

3.3. Оценка случайной погрешности по графику

Случайная погрешность является результатом действия ряда случайных факторов, как зависящих, так и не зависящих от экспериментатора: загрязнение подшипников установки, разное растяжение нити на различных участках и в разных опытах, умение включить секундомер одновременно с началом движения и выключить его в нужный момент, умение устанавливать одинаковые начальные условия опыта (наматывая нить на шкив в один слой) и т. п. Действие этих факто­ров проявляется в том, что экспериментальные точки на графике имеют определённый "разброс", причём, тем больший, чем больше случайная погрешность опыта. Эта погрешность практически всегда значительно больше систематической. Поэтому относительная погрешность 5% углового коэффициента , найденного по графику, даёт относительную погрешность измеряемой величины, рассчитываемой по значению К.

Простейшая оценка погрешностей выполняется следующим образом.

1. По графику (см. рис. 2) определяют величины:

_у - отклонение наиболее удалённой от прямой точки,

(y_N-y₁) - интервал, на котором сделаны измерения (длина оси у).

2. Абсолютная случайная погрешность параметра b (в единицах измерения величины у)

(10)

3. Для углового коэффициента прямой К сначала вычисляют относительную погрешность:

(11)

Эта формула удобна тем, что в ней используется отношение величин одной размерности. Поэтому их можно измерить в любых единицах (проще всего в миллиметрах по оси у). Напомним, что в погрешности имеет значение обычно одна цифра, а потому достаточная точность измерения отрезка (y_N-y₁) - «круглое число", например, 100 или 120 мм.

4. Относительная погрешность измеряемой величины, рассчитываемой по значению К, часто совпадает с найденной выше Тогда для этой измеряемой величины, например А, имеем _A= _K, а её абсолютная погрешность, вычисленная по формуле

(12)

даёт доверительный интервал для измеряемой величины А:

; (13)