2.3. Логические законы и правила преобразования логических выражений.
1. Закон двойного отрицания:
¬(¬А)=А
2. Переместительный (коммутативный) закон:
А V B = B V A;
A Λ B = B Λ A.
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
(A V B) V C = A V (B V C);
(A Λ B) Λ C = A Λ (B Λ C).
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
(A V B) Λ C = (A Λ C) V (B Λ C);
(A Λ B) V C = (A V C) Λ (B V C).
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
¬(АVВ)= ¬А Λ ¬В;
¬(А Λ В)= ¬А V ¬В;
6. Закон идемпотентности (равносильный):
A V A = A;
A Λ A = A.
7. Законы исключения констант:
A V 1 = 1, A V 0 = A;
A Λ 1 = A, A Λ 0 = 0.
8. Закон противоречия:
A Λ¬А= 0.
9. Закон исключения третьего:
A V ¬А = 1.
10. Закон поглощения:
A V (A Λ B) = A;
A Λ (A V B) = A.
11. Закон исключения (склеивания):
(A Λ B) V (¬А Λ B) = B;
(A V B) Λ ( ¬А V B) = B.
12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A V B) = (B V A).
13. Закон контрапозиции:
А→В=¬А→¬В
14. Правила исключения импликации:
А→В=¬А V В
15. Правила исключения эквиваленции:
А«В=( А→В) Λ(В→А)
Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции Å®« на их выражения через И, ИЛИ и НЕ.
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана.
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.
Алгоритм построения таблицы истинности:
Подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
Определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
Подсчитать количество операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
Заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
Провести заполнение таблицы значениями (0 и 1) истинности по столбцам, выполняя логические операции.
Например: построить таблицу истинности для логического выражения Y=¬(A→(B→C))~(A Λ B Λ ¬C)
A |
B |
C |
B→C |
A→(B→C) |
¬(A→(B→C)) |
¬C |
A Λ B |
A Λ B Λ ¬C |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |