22. Логическое уравнение. Логистическая модель межвидовой конкуренции.
Рассм. попул. с
непрерывным размножением и построим
модель изменения ее численности. Скорость
роста в этом
случае можно
обозначить
,
тогда средняя скорость
увеличения
численности в
расчете на одну особь определяется
величиной
.
Без учета
внутривидовой
конкуренции получаем
или
Где r-
приращение численности за единицу
времени в
расчете на одну особь. Если учитывать
внутривидовую
конкуренцию, то получаем:
,
где К – предельное значение численности
популяции , при к-ром скорость роста
становится равной нулю. Уравнение
известно под названием «логистического».
Межвидовая
конкуренция.
Мы имеем дело
с двумя различными популяциями. Пусть
N1
- численность первой популяции, а N2
- второй. Предельные плотности насыщения
и максимальные врожденные скорости
роста популяций обозначим соответственно
K1,
K2,
r1,
r2.
Обратимся к логистическому. Для первой
популяции вместо N
нужно записать
- суммарное воздействие па вид 1,
- коэффициент
конкуренции.
Аналогично и для популяции 2. Получим
систему
23. Динамика численности популяции хищника и жертвы.
Модель состоит из дух компонентов:
С – численность
популяции хищника, N
– численность популяции жертвы. С и N
– есть функции от времени, поэтому
скорость роста популяций выразим как
производные по времени
и
.
Тогда средняя скорость увеличения
численности жертвы в расчете на одну
особь определяется величиной
.
Тогда при размножении в среде без хищника
эту величину мы будем считать постоянной
.
Перепишем последнее равенство
.
Таким образом в отсутствие хищника
популяция жертвы растет экспоненциально.
Скорость поедания
жертвы будет зависеть от численностей
популяций N
и С – чем больше численность той и другой
популяции, тем чаще происходят встречи.
Число встреченных и успешно съеденных
жертв будет зависеть и от «эффективности
поиска» хищником жертвы. Таким образом
скорость поедания жертвы будет равна
.
И окончательно для численности жертвы
получаем:
.
В отсутствие пищи
отдельные особи хищника голодают и
гибнут. Предположим вновь, что численность
хищника в отсутствие пище будет
уменьшаться экспоненциально:
,
(q
– смертность).
Скорость рождения
новых особей в данной модели полагается
зависящей от двух обстоятельств: скорости
потребления пищи
,
эффективности f,
с которой эта пища переходит в потомство
хищника. Итак, для численности хищника
окончательно получаем:
.
И окончательно получаем мат. модель.
Численное решение методом Эйлера.
