16. Уравнение теплопроводности.

Пусть стержень линеен. Фиксируем точку и выделим малый участок стержня . Поток тепла тем больше чем больше разность температур |u1-u2|: . Тогда . Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в . Он определяется той же формулой . Методом Эйлера вычислим . Отсюда . Если через сечения и прошло разное количество тепла то на нагревание ушло . Пусть температура участка изменилась на , тогда , где m-масса, с – удельная теплоемкость. Приравняем для два выражения: . Если представить и перейдя к пределу при получим . Или где . Для решения этой задачи нужны начальное условие (распределение температуры в некот. начальн. мом. времени ) и краевые условия(поддерживаемая температура на концах стержня и ).

17. Числен.мет.решения теплопр. Использ.сеточные методы,т.е. в рез-те будет получено решение указ-го ур-ия только в выбранных узлах сетки.Пусть перем-ая x может принять любое знач из отр[0,L].Разобьем на n равных частей с узлами в точках x₀=0,x₁=x₀+ x,...,x_i=x₀+i x,...,x_n=x₀+n x=L.Искомую ф-цию u(x) аппроксимируем знач. в узлах сетки. Аппр-ция первой производной в т.х_i имеет вид: . Но не пригодна для крайних точек. Найдем односторонние разности для лев. точки: , для пр.точки: . Вторую производную заменяем также: ,

. Для интегр-ния по времени исп-ем метод Эйлера. Для этого нужна двойная индексация: верхние индексы – для измен. по врем( t)., нижн – по координате( x). , (где k=0,1,...,; i=1,2,...,n-1) – явная схема решения ур-ия теплопр. ₌ f(x_i), f(x)-задает нач.усл. Разностная схема устойчива не всегда, а только при .

Существует другая, абсолютно устойчивая схема.

Неявн. схема: + . Эта схема абсолютн. уст-ва и более эф-на. Но это формула непригодна для непосредст-го расчета. Ее решают при помощи системы линейных уравнений.

19. Генерация случайных чисел. При компьютерном моделировании случайных процессов нель­зя обойтись без наборов, так называемых, случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму; такие числа называют «псевдослучайными». Рассмотрим вначале генерацию чисел равновероятно распределенных на неко­тором отрезке. Большинство программ - генераторов случайных чисел - выдают последовательность, в которой предыдущее число используется для нахождения последующего. Первое из них - начальное значение. Все генераторы случайных чисел дают последовательности, повторяющиеся после некоторого количества членов, называемого периодом, что связано с конечной длиной машинного слова. Самый простой и наиболее распространенный метод - метод вычетов в котором очередное случайное число х опреде­ляется «отображением». X_n=(ax_n-1+c)mod m (*) где а, с, т - натуральные числа. Наибольший возможный период датчика равен т; однако, он зависит от а и с. Ясно, что чем больше период, тем лучше; однако реально наибольшее т ограничено разрядной сеткой ЭВМ. В любом случае используемая в конкретной задаче выборка случайных чисел должна быть короче периода, иначе задача будет решена неверно. Заметим, что обычно генераторы выдают отношение - x_n/m, которое всегда меньше 1, т.е. генерируют последовательность псевдослучайных чисел на отрезке [0,1]. Располагая датчиком случайных чисел, генерирующим числа r  [0. I], легко получить числа из произ­вольного интервала [a,b]: x=a+(b-a)*r. Более сложные распределения часто строятся с помощью распределения равно­мерного. Рассмотрим метод Неймана (метод отбора-отказа), в основе которого лежит про­стое геометрическое соображение. Допустим, что необходимо генерировать случай­ные числа с некоторой нормированной функцией распределения f(x) на интервале [a b]. Введем положительно определенную функцию сравнения w(х) такую, что w(х)=const и w(x)>f(х) на [a b] (обычно w(х) равно максимальному значению f(х) на [a b]). Поскольку площадь под кривой f(x) равна для интервала [х, х + dх] вероятности попадания х в этот интервал, можно следовать процедуре проб и ошибок. Генерируем два случайных числа, определяющих равновероятные коорди­наты в прямоугольнике АВСD с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел: x=a+(b-a)*r, y=w*r и если точка М(х, у) не попадает под кривую f(х), мы ее отбрасываем, а если попадает – оставляем. При этом множество координат х оставленных точек оказывается распределенным в соответствии с плотностью вероятности f(x).

20. Моделирование случайных процессов в системах массового обслуживания. Компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний играет важную роль. Рассмотрим одну задачу данного класса. Имеется магазин с одним продавцом, в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, он начинает обслуживать покупателя сразу, если покупателей несколько, выстраивается очередь. Итак, на входе этой задачи случайный процесс прихода покупателей в магазин. Промежутки между приходами любой последова­тельной пары покупателей - независимые случайные события, равновероятные в диапазоне времени от 0 до некоторого. При этом распределении вероят­ность того, что между приходами двух покупателей пройдет 1 минута, 3 минуты или 8 минут одинакова (если Т>8). Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, сводится к последовательности случайных событий - длительностей обслуживания каждого из покупателей. Для распределение вероятностей вполне уместно принять аналогичную модель равновероятного распределения. При проведении испытания мы получим два массива чисел: А – промежутки между при­ходами покупателей, В - длительности обслуживания. Из этих данных можно составить, например, такие массивы: F - длительность времени, проведенного покупателем в магазине в целом, G - в очереди в ожидании обслуживания, Н - время, проведенное продавцом в ожидании покупателя. Практическое значение задач об очередях - стремление ра­ционально построить обслуживание потребителей. Поэтому возникает необходимость изучить, например, такие случайные величины как G и H. Для построе­ния методом статистических испытаний распределений величин G и Н поступим так: найдем в достаточно длинной серии испытаний (реально - в десятках тысяч, что на компьютере делается достаточно быстро) значения g_max (для Н все делается аналогично) и разделим промежуток [0, g_max] на т равных частей - скажем, вначале на 10 - так, чтобы в каждую часть попало много значений g_i,. Разделив число попада­ний n_k в каждую из частей на общее число испытаний n, получим набор чисел p_k=n_k/n, где (k=1,2,…,m). Построенные по ним гистограммы дают представление о функциях плотностей вероятности соответствующих распределений. По ним уже можно получить ответы на такие вопросы, как сильно ли загружен продавец или же он гад все время «прохлаждается».

21. Мат. модели в экологии. Классическая экология - наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов: • взаимодействие организма и окружающей среды; • взаимодействие особей внутри популяции; • взаимодействие между особями разных видов (между популяциями). Математические модели помогают установить некоторые общие закономерности развития отдельных популяций. Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования. Возникли принципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование. Модели внутривидовой конкуренции. Популяция — совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конку­ренцией, между популяциями — межвидовой конкуренцией. ВК в популяции с дискретным размножением. Простейшая из указанных моделей для вида с дискретными перио­дами размножения, в которой численность популяции в момент времени t равна N_t, и изменяется во времени пропорционально величине основной чистой скорости воспроизводства R Коэффициент R характеризует количество особей, которое воспроизво­дится в расчете на одну существующую. Данная модель может быть выражена уравнением (1), его решение где N₀ - начальная численность популяции. Если R>1 то численность будет расти неограниченно.

Конкуренцию можно определить как использование некоего ограниченного ресурса (пищи, во­ды, света, пространства). Скорость воспроизводства в результате конкуренции снижается с ростом популяции. Этой гипотезе отвечает формула . Суть этой модели в том что константа R заменена на фактическую скорость воспроизводства, т.е. , которая уменьшается по мере роста N_t. Из этой формулы может быть получена более общая формула, учитывающая интенсивность конкуренции: . Параметр b определяет тип зависимости падения скорости роста популяции от ее численности. При численном моделировании, меняя b и R, можно получить различные решения см. рис.