Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения

,

где - проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l - плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr²,

где т - масса точки; r - ее расстояние от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

,

где Δm_i - масса i-го элемента тела; r_i - расстояние этого элемента от оси вращения; п - число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинакова по всему объему, то dm=ρdV, и

,

где V - объем тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J₀+ma²,

где J₀ - момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а - расстояние между осями; m - масса тела.

Момент импульса вращающегося тела относительно оси

.

Закон сохранения момента импульса

,

где - момент импульса i-го тела, входящего в состав системы.

Таблица 2 - Моменты инерции тел правильной геометрической формы

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр шара	mR2

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где - моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; - те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

,

где J₁ и J₂ - начальный и конечный моменты инерции; ω₁ и ω₂ - начальная и конечная угловые скорости тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где - момент силы, действующей на тело в течение времени dt;J - момент инерции тела; ω - угловая скорость; - момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

.

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

,

где  - угловое ускорение.

Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело

A=M,

где  - угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

N=M .

Кинетическая энергия вращающегося тела

.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

,

где v_С - скорость центра масс тела; - кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.