Раздел 1 физические основы механики Основные формулы Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором :

где - единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Средняя скорость

,

где - перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая скорость

,

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость

,

где , , - проекции скорости на оси координат.

Модуль скорости

.

Ускорение

,

где , , - проекции ускорения на оси координат.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Модули этих ускорений

,

где R - радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

,

где x₀ - начальная координата; t - время.

При равномерном движении v=const и a=0.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения (а=const) вдоль оси x

,

где v₀ - начальная скорость; t - время.

Скорость точки при равнопеременном движении

.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Средняя угловая скорость

,

где Δφ - изменение угла поворота за интервал времени Δt.

Мгновенная угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения

Кинематическое уравнение равномерного вращения

,

где φ₀ - начальное угловое перемещение; t - время. При равномерном вращении ω=const и ε=0.

Частота вращения

n=N/t,

или

n=1/T,

где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const)

,

где ω₀ - начальная угловая скорость; t - время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R, при повороте на угол φ

;

линейная скорость точки

;

тангенциальное ускорение точки

:

нормальное ускорение точки

.

Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

и

,

где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т - масса; а - ускорение; - импульс; N - число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной)

;

;

или

;

;

,

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

Сила упругости

F_упр=-kx,

где k - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

х - абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия тел, рассматриваемых как материальные точки

,

где G - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними.

Сила трения скольжения

F_тр=μN,

где μ - коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

или

,

где N - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Работа, совершаемая постоянной силой

где α - угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая переменной силой

,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени Δt

.

Мгновенная мощность

,

или

,

где dA - работа, совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно

,

или

,

Потенциальная энергия тела W_П и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

,

или

,

где - единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁, и т₂, находящихся на расстоянии r друг от друга

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

где h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

Эта формула справедлива при условии h <<R, где R — радиус Земли.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

W_К+W_П= const.

Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости шаров после абсолютно неупругого удара

и формулы скорости шаров после абсолютно упругого удара

,

,

где m₁ и m₂ — массы шаров; v₁ и v₂ — их скорости до удара.