Обратная матрица

Определение 20. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пусть А – невырожденная матрица (понятие невырожденности появится позже). Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной матрицы (А│E) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А^-1 .

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А^-1 легко следует, что матрица, обратная для А^-1, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке, из матрицы Е получим А, а из А^-1 матрицу Е. это означает, что А есть обратная матрица для А^-1, т.е. А^-1А = Е.

Пример. Для матрицы

Найти обратную матрицу А^-1 .

Решение. Составим матрицу

.

С помощью элементарных преобразований приведём её левую «половину» А к матрице Е:

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица А^-1:

Способ решения уравнения АХ = В

Пусть А – невырожденная матрица. Приведём её с помощьюэлементарных преобразований над строками к единичной матрице Е. Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу Х.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В

(А|В)

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведётся к Е, правая приведётся к искомой матрице Х.

Пример. Решить уравнение

где Х – неизвестная матрица .

Решение. Имеем

Правее вериткальной черты получилась искомая матрица

1.2 Определители и их свойства

Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.

Каждой квадратной матрице по некоторому закону может быть поставлено в соотвествие число , называемое определителем матрицы А или просто определителем п-го порядка. Обозначают:

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент .

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Данная формула получила название правила треугольников.

Пример. Вычислить определитель .

Решение. .

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).

Определение 21. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Определение 22. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :

.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; ).

(разложение по элементам -го столбца; ).