Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
а)
(10.7)
Область
сходимости ряда
.
б)
(10.8)
Область сходимости ряда .
в)
.
(10.9)
Область сходимости ряда .
г)
,
где
действительное число.
(10.10)
Область
сходимости ряда
.
д)
.
(10.11)
Область
сходимости ряда
.
Пример.
Найти область
сходимости степенного ряда
.
Решение. Применим признак Даламбера.
Решаем
неравенство
.
Имеем равносильное неравенство
Отсюда область сходимости интервал
.
Исследуем
поведение ряда на концах интервала
сходимости. При
получаем ряд
,
который
можно сравнить со сходящимся обобщенным
гармоническим рядом
,
т.к.
.
Действительно, используя предельный признак сравнения, имеем
.
При
получаем знакочередующийся ряд
,
который сходится абсолютно, так как его можно сравнить со сходящимся обобщенным гармоническим рядом .
Следовательно, область сходимости данного ряда ─ интервал , на концах интервала ряд сходится абсолютно.
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. - 4-е изд.; перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2012(ЭБС Юрайт).
Математический анализ: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин,/ под ред. Н.Ш. Кремера. - 4-е изд.; перераб. и доп.- М.: Юрайт, 2014 (ЭБС Юрайт).
Кремер Н.Ш. Линейная алгебра: учебник и практикум / Кремер Н.Ш.; под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Юрайт¸ 2014 (ЭБС Юрайт).
Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.- справоч. пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Юрайт, 2012 (ЭБС Юрайт).