Тема 6. Теория пределов. Предел числовой последовательности и функции

Число называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство

.

Обозначают: или при .

Число называется пределом функции в точке , если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначают: или при .

Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:

.

Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:

.

Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Если функция есть бесконечно малая величина при ( ), то функция является бесконечно большой при ( ). И, наоборот.

Первым замечательным пределом называется

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности :

, где

Если рассмотреть функцию , то при функция имеет также предел, равный числу : .

Если существуют и , то имеют место теоремы о пределах:

1. .

2. .

3. , .

4. Если , , то предел сложной функции .

При вычислении пределов часто возникают выражения вида , , , , . Такая ситуация называется неопределённостью, а поиск предела в этой ситуации – раскрытие неопределённостей.

Задача о непрерывном зачислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает р% годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину

, т.е. , ,…,

При использовании сложных процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз, т.е.

, ,…, .

Если начислять проценты не один раз в году, а п раз, то при этом же ежегодном приросте р% процент начисления за 1/п часть года составит р%/п, а размер вклада за t лет при пt начислениях составит

.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (п = 2), ежеквартально (п = 4), ежемесячно (п = 12), каждый день (п = 365), каждый час (п = 8760) и т.д., непрерывно (п ). Тогда размер вклада за t лет составит

или с учётом второго замечательного предела при

.

Формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р >0) или убывания (при р <0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Пример. Вычислить предел .

Решение.

=

Установим тип неопределенности: при числитель и знаменатель дроби являются бесконечно большими функциями. Следовательно, имеем неопределенность « ».

= « » =

Для раскрытия неопределенности выделим за скобки старшие степени переменной х как в числителе, так и в знаменателе дроби.

= = =

Сократим множители . Слагаемые при являются бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим:

.

Пример. Вычислить предел .

Решение.

=

Неопределенность « » образована показательными функциями. Для ее раскрытия выделим за скобки наибольшие слагаемые в числителе и знаменателе дроби.

= =

Сократим множители . Слагаемые , при являются бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим:

= = 3.

Пример. Вычислить предел .

Решение.

=

Рассмотрим структуру выражения: при предел основания степени равен 1, а показатель является бесконечно большой функцией. Таким образом, имеем неопределенность вида « ».

= « » =

Для раскрытия этой неопределенности следует применить формулу 2-го замечательного предела: .

а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:

.

Отметим, что при дробь является бесконечно малой функцией.

= =

б) Для применения к полученному выражению формулы 2-го замечательного предела необходимо, чтобы показателем степени была бесконечно большая функция . С этой целью выполним преобразования:

= =

в) Согласно формуле 2-го замечательного предела .

Показатель степени при имеет предел:

= = = 8.

По теореме о пределе сложной функции получим:

= .