Ответы на экзаменационные билеты

1. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матриц на число. Транспонирование матриц. Операция умножения матриц и её свойства.

Определение.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. А числа называются элементами матрицы А.

Операции над матрицами.

1. Сложение матриц

Свойства:

2. Умножение матрицы на число

Свойства:

3. Умножение матриц

Свойства:

4. Транспонирование матриц

Свойства:

Виды матриц.

1. – матрица-строка (столбец);

2. – квадратная матрица;

3. – симметрическая матрица;

4. – кососимметричная матрица;

5. – нулевая матрица;

6. – противоположная матрица;

7. – единичная матрица.

2. Перестановки и подстановки, их свойства.

Определение.

Всякое расположение чисел в некотором определённом порядке называется перестановкой из n чисел (символов). Общий вид перестановки .

Всякое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой. Общий вид подстановки .

Свойства перестановок и подстановок.

1. Число различных перестановок из n символов равно n!

2. Все n! перестановок из n символов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причём начинать можно с любой перестановки.

3. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

4. При число чётных перестановок из n символов равно числу нечётных, т.е. n!

5. Число подстановок n-й степени равно числу перестановок из n символов, т. е. равно n!

6. Число чётных подстановок n-й степени равно числу нечётных, т.е. n!

7. Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её записи чётно, и нечётной – в противоположном случае.

8. Произведение любой подстановки А на тождественную подстановку Е, а также произведение Е на А, равно А.

3. Определитель порядка n. Определитель транспонированной матрицы.

Определение.

Определителем (или детерминантом) матрицы называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по её элементам по формуле

– перестановка из чисел

– число инверсий в перестановке

Определитель транспонированной матрицы.

При транспонировании матрицы её определитель не меняется, т. е. . Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливо и для строк определителя матрицы.

Доказательство.

4. Свойства определителя.

Свойства определителя:

1. При перестановке двух строк матрицы её определитель меняет знак на противоположный;

Доказательство.

2. Если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на какое-то число, то её определить умножится на это число;

Доказательство.

3. Если какая-либо строка матрицы представляет собой сумму двух строк, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей.

Доказательство.

4. Если матрица имеет две одинаковые строки или содержит строку, состоящую из нулей или соответствующие элементы двух её строк пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

5. Если к одной строке прибавить соответственно другую строку, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится.

6. Миноры. Теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение.

Определение.

Минором матрицы k-ого порядка называется определитель матрицы, состоящей из элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов () данного определителя d порядка n.

Пусть в определителе d n-ого порядка взят минор M k-ого порядка. Если вычеркнуть те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор M’ (n–k)-ого порядка, который называется дополнительным минором для минора М.

Если минор k-ого порядка расположен в строках с номерами и столбцах с номерами , то алгебраическим дополнением минора М является дополнительный минор М’, взятый со знаком .

Теорема.

Произведением любого минора k-ого порядка матрицы А на его алгебраическое дополнение состоит из слагаемых, представляющих собой члены определителя матрицы А с правильным знаком.

Доказательство.

7. Теорема Лапласа.

Теорема.

Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

8. Разложение определителя по строке или столбцу. Умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки.

Определение.

Разложение определителя по j-ому столбцу .

Теорема.

Сумма произведений всех элементов некоторого столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е. .

9. Правило Крамера.

Пусть дана система, определитель которой не равен нулю, вида

Правило Крамера.

Система (1) однозначно разрешима при любых правых частях тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю. Это решение определяется формулой , где – определитель матрицы системы, – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Доказательство.

10. Обратная матрица.

Определение.

Матрица B (A^–1) называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е (единичная матрица).

Теорема.

11. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение.

Определение.

Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Определение.

Система столбцов называется линейно зависимой , не все равные нулю, и такие, что

Теорема.

1) Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно-независимую систему.

2) Любой столбец матрицы линейно выражается через столбцы базисного минора.

Доказательство.

12. 13. Следствия из теоремы о базисном миноре.

Следствия.

а) Равенство определителя нулю.

Доказательство.

б) Линейная зависимость системы из (n+1) столбца размером из n элементов.

Доказательство.

в) Линейная независимость системы из k столбцов, линейно выражающихся через l столбцов.

Доказательство.

14. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной зависимости системы столбцов.

Теорема.

Ранг матрицы А равен числу столбцов (строк), входящих в максимальную линейно независимую подсистему.

Доказательство.

15. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Теорема.

Пусть минор k-ого порядка матриц А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, тогда ранг матрицы А равен k.

Доказательство.

16. Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы.

Теорема.

Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы:

1. Умножение любой строки (столбца) на число отличное от нуля.

2. Перестановка любых двух строк (столбцов).

3. Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.

4. Вычёркивание или приписывание нулевой строки.

Доказательство.

17. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.

Суть метода Гаусса заключается в привидении матрицы А к трапециевидной матрице путём зануления столбцов.

18. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема.

Доказательство.

23. Однородные системы линейных алгебраических дополнений: свойства решений, эквивалентное уравнение системы.

Определение.

Урезанная система – система, из которой отброшены уравнения, у которой соответствующие им строки матрицы системы не входят в базисный минор.

Утверждение.

Урезанная система эквивалентна исходной системе, т. е. любые решения исходной системы равны решениям урезанной системы, и наоборот.

Пример:

Доказательство.