3.2. Приближенное интегрирование функций

Задана предельная абсолютная погрешность eps. Вычислить интеграл функ-ции f(x) непрерывной на отрезке [a, b] с точностью eps. В данной задаче вычисление с точностью eps означает следующее. Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n_i равных частей, а функцию f(x) на рассматриваемом отрезке заменяют интерполи-рующей или аппроксимирующей функцией g(x) простого типа и вычисляется сумма Sn_i, которая является приближенным значением интеграла. Если |S n _i+1 - Sn_i| < eps, то S n _i+1 считается значением интеграла с точностью eps. (Здесь n_i < n _i+1 (i=1, 2, ...)).

Формула прямоугольников

Формула прямоугольников для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид:

S = h*(y₀ + y₁ + ... + y _n-1 ),

где h = (b-a)/n,

x_j = a+ j*h (j = 0, 1, 2, ..., n),

y_j = f(x_j )

Формула трапеций

Формула трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид:

S = h/2*(y₀ + 2*(y₁ + y₂ + ... + y _n-1 ) + y_n ),

где h = (b-a)/n,

x_j = a+ j*h (j = 0, 1, 2, ..., n),

y_j = f(x _j)

Формула Симпсона

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет вид:

S = h/3*((y₀ + y _2*k) + 4*(y₁ + y₃ + ... + y _2*k-1) +2*(y₂ + y₄+ ... + y _2*k-2 )),

где n - четно (2*k),

h = (b-a)/n,

x_j = a+ j*h (j = 0, 1, 2, ..., n),

y_j = f(x_j )

4. Задание.

Разработать программу приближенного решения алгебраических и трансцен-дентных уравнений или приближенного интегрирования функций в соответствии с

вариантами заданий в таблице №1. Использование функционального типа обязательно.

Таблица №1

Номер варианта	Вид решаемых уравнений	Способ решения
Отыскание корней уравнения
1	x2 = sin(x).	способ половинного деления
2	x3 = sin(x).	способ половинного деления
3	x = arcsin((x+1)/4).	способ половинного деления
4	x3 - 5*x + 1 = 0.	способ хорд
5	x3 - 9*x2 + 20*x - 1 = 0.	способ хорд
6	x3 - 3*x2 -3*x + 10 = 0.	способ хорд
7	x5 + 5*x + 1 = 0.	способ касательных
8	sin(x) + x = 1.	способ касательных
9	x2 - 10*lg(x) - 3 = 0	способ касательных
10	x2 = ln(x+1)	способ итераций
11	ln(x) = 4 – x2	способ итераций
12	lg(x) = 0.1*x	способ итераций
Приближённое интегрирование
13	f(x) = 1/(x+1) 1/3 ; [0, 1.2]	по формуле прямоугольников
14	f(x) = (4 + x2 ) 1/2 ; [0, 3]	по формуле прямоугольников
15	f(x) = 1/√(1-0.25*sin(x)2 ); [0, pi/4]	по формуле прямоугольников
16	f(x) = exp(-x)*cos(pi*x/4); [0, 2]	по формуле трапеций
17	f(x) = tg(x) 1/2 ; [0, pi/6]	по формуле трапеций
18	f(x) = (1 + cos(x)2 ) 1/2 ; [0, pi]	по формуле трапеций
19	f(x) = (x-5)2 *(10-x); [0, 10]	по формуле Симпсона
20	f(x) = exp(2*x)*sin(2*x2 +1); [0, 1]	по формуле Симпсона
21	f(x) = arccos(exp(-(3*x)1/3);[0.2,0.56].	по формуле Симпсона