5.5.Двойственностьзадачлинейногопрограммирования

ДвойственностьЗЛПсводитсяктому,чтовместопоискамаксимумаможноискатьминимумдвойственнойзадачисдругимипеременными,инаоборот.Витогеэтоможетдатьодинитотжеэффект.Например,еслинеобходимовтечениерабочегодняполучитьдополнительноевремянаре-шениевыполнениянекоторогозадания,томожноилимаксимизироватьско-ростьвыполнениядругихзаданийприсохраненииограничениянавремяот-дыха,или,наоборот,минимизироватьвремяотдыхаприсохраненииограни-чениянаскоростьвыполнениядругихзаданий.

Преобразованиепрямойзадачивдвойственнуюпроизводитсяследующимпутем:вместоnпеременныхпрямойзадачивдвойственнойзадачевводятсяmновыхпеременных(z)поколичествуограниченийвпрямойзадаче;ввы-ражениецелевойфункциисновымипеременнымивместокоэффициентовс_{iзаписываются}коэффициентыb_j,которыевпрямойзадачеестьзначенияограничений;вместопоискамаксимумавпрямойзадачеосуществляетсяпо-искминимумавдвойственнойзадаче;вместоmограниченийпрямойзадачивводятсяnограниченийдвойственнойзадачи.Результатыэтихпреобразова-нийпредставленыниже.

_n

^{Прямаязадача: }

i1

c_ix_i→max,

Двойственнаязадача:

_n

^

^i1

a_ijx_i≤b_j,j=1,2,3,…,m,

x_i≥0,i=1,2,3,…,n.

_m



^j1

_m

^b_j^z_j^→min,



^j1

^a_ij^z_j^≥c_i^{,i=1,2,3,…,n,}

^z_j^{≥0,i=1,2,3,…,m.}

Сматематическойточкизренияпереходкдвойственнойзадачепозволяетврядеслучаевупроститьрешение,применитьболееэффективныеметоды,невозможныедляпрямойзадачи.

5.6.Транспортнаязадачалинейногопрограммирования

КспециальномутипуЗЛПотноситсятранспортнаязадача,атакжесхожаяснейзадачаоназначениях.Рассмотримтранспортнуюзадачупрограммирования.

Пример3.Пустьимеетсянекоторыйрайонаэродромасnкоридорамиподхода.Намоментрешениязадачивпервомкоридореподходанаходитсяa_{1прилетающих}наданныйаэродромВС,вовтором–а₂,втретьем–а_3ит.д.Предположим,чтопонекоторымпричинам,например,пометеоусловиям,аэродромзакрывается,возникаетзадачараспределенияВС,находящихсявданномрайоне,назапасныеаэродромы(дляобобщениязадачиможемпред-положить,чтовчислоnвходятнетолькокоридоры,ноизоныожидания,атакжезонавзлетаипосадки(ЗВП),соответственно,некоторыеа_iбудутозна-чатьколичествоВСвзонеожиданияиливЗВП).Положим,чтовсегозапас-ныхаэродромовдляданногоm,причемпервыйможетпринятьb_1ВС,второй–b₂,третий–b_3ит.д.ЗатратынаполетВСизпервогокоридоранапервыйза-паснойаэродром,выраженные,например,вдальностиполета,обозначимc₁₁;вболееобщемслучаебудемговоритьозатратахнаполетодногоВСизi-гокоридоравj-йаэродромиобозначатьс_ij.Введемпеременнуюх_ij–количествоВС,направленныхизi-гoкоридоранаj-йзапаснойаэродром.Тогдазатраты

наполетизi-гoкоридоранаj-йзапаснойаэродромх_ijВСбудутвыражены

^{произведениемc}_ij^,x_ij^{,асуммарныезатратыдляраспределениявсехВС,нахо-}

nдящихсявданномрайоне,назапасныеаэродромыввидесуммы_i1

_m

^

j1

^cij^xij^.

_{Дляслучая,когда,например,n=3иm=2,этовыражениебудетвыгля-}

nдетьтак:_i1

_m

^

j1

^cij^xij^=c11^x11^+c12^x12^+c21^x21^+c22^x22^+c31^x31^+c32^x32^.

Задачасостоитвтом,чтобытакраспределитьВСпозапаснымаэродро-мам,чтобысуммарныезатратыбылиминимальныивыполнялисьследую-щиетребования(ограничения):во-первых,всеВСизвсехкоридоровбылираспределеныпозапаснымаэродромам;во-вторых,всеВСбылипринятына

_m

^{этихзапасныхаэродромах.Первоеограничениезапишетсятак:}

j1

^x_ij^=a_i

длявсехi=1,2,3,…,n.

_n

^{Второеограничениезапишетсяследующимобразом:}

i1

^x_ij^=b_j^{длявсех}

j=1,2,3,…,m.

Теперьможемзаписатьпоставленнуюзадачуввидетранспортнойзадачилинейногопрограммирования:

_n

^

^i1

_m

_m

^

^j1

c_ijxij→min,



^j1

_n

^

i1

^x_ij^=a_i^{,i=1,2,3,…,n,}

x_ij=b_j,j=1,2,3,…,m,

x_ij≥0,i=1,2,3,…,n;j=1,2,3,…,m.

Необходимоотметить,чтовкаком-тоиномслучаеречьможетидтиопо-искемаксимума,этоопределяетсясмысломпеременныхикоэффициентовзадачи.Есливзаписитранспортнойзадачираскрытьзнакисуммы,тополу-чимпосутитакуюжеЗЛП,какиранее.Длярешениятранспортнойзадачииспользуютсясвоисобственныеметоды.

Задачаоназначенияхпоформепохожанатранспортнуюизапишется

_{следующимобразом:}

_n

^

^i1

_n

_n

^

^i1

c_ijxij→min,



^i1

_n

^

i1

^x_ij^{=1,i=1,2,3,…,n,}

x_ij=1,j=1,2,3,…,n.

Интерпретациятакойзадачиможетбытьследующая.Имеетсяnработни-ковиnпунктов–рабочихмест.Известно,чтовсилуразличияквалификацииперсоналавероятностьошибочныхдействийработниковнаразныхместахразлична,введемкоэффициентс_ij,отражающийнекоторымобразомвероят-ностьошибочныхдействийi-гoработниканаj-мрабочемместе.Требуетсятакназначитьработниковсменынарабочиеместа,чтобысуммарнаявероятностьбыламинимальна.Дляформализациизадачивводитсяпеременнаяx_ij,котораяможетприниматьдвазначения:x_ij=1–еслиi-йработникназначеннаj-eме-сто;х_ij=0–впротивномслучае.Ограниченияимеютследующийсмысл:пер-воеограничение:каждыйi-йработникдолженбытьназначеннаоднорабочееместо;второе:накаждоеj-eместодолженбытьназначенодинработник.

Другимпримеромиспользованиязадачионазначенияхявляетсязадачапланированияочередностизаходанапосадку.