Второе правило исследования функции на экстремум.
Часто бывает рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной. Рассмотрим сущность этого метода.
Знак первой производной данной функции характеризует возрастание и убывание функции. Точно так же знак второй производной характеризует возрастание и убывание первой производной.
Теперь выясним, как изменяется первая производная в точках экстремума и близких к ним точках с увеличением аргумента. Первая производная при переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «-». Иными словами, она от положительных значений переходит через ноль к отрицательным, т. е. убывает, а значит, её производная должна быть отрицательна. Итак, в точке максимума данной функции первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.
Аналогично можно показать, что в точке минимума функции первая производная равна нулю, а вторая отрицательна.
Отсюда вытекает правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
Найти первую производную .
Найти критические точки, т.е. точки, в которых
Найти вторую производную
.Во вторую производную подставить поочерёдно все критические значения
;
если
то
-
точка минимума,
Если то - точка максимума,
если
то следует обратиться к первому правилу.
Вычислить значения функции в точках экстремума и построить схематически график.
П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум по второму правилу
Решение.
1.
Найдём первую производную
2. Найдём критические точки
,
если
,
,
.
3. Найдём вторую производную
.
4. Определим знак второй производной в каждой критической точке.
,
значит
– точка максимума,
,
значит
- точка минимума,
,
значит
5. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Точка
.
Точка
.
Точка
Построим схематически график.
y
- x
Вопросы для самопроверки
1. Что называется точкой максимума функции? Проиллюстрируйте на рисунке.
2. Что называется точкой минимума функции? Покажите, как это выглядит на рисунке.
3. Что такое максимум и минимум функции?
4. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.
5. Перечислите порядок нахождения точек экстремума по первой производной.
6. Как исследовать функцию на экстремум по второй производной?