Понятие касательной и нормали. Геометрический смысл производной

1. Понятие касательной и нормали к кривой

Мы знаем аналитический и физический смысл производной:

аналитический смысл – это , физический – это скорость процесса, заданного функцией. Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. Касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку.

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет.

M₁ Дадим общее определение касательной к

L M₂ кривой в данной точке.

М₃ Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой.

K При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки , занимая положения ,

Рис.1

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке

Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривой в точке ,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

Рис.2

2. Геометрический смысл производной

Пусть кривая является графиком функции . Точки

лежат на графике функции. Прямая - секущая кривой . – касательная к кривой

- угол наклона касательной

0 Рис.3

Геометрически, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид