Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі
Оське
бекітілген дене айналғанда оның
кинетикалық энергиясы істелген жұмыстың
шамасына артады. Дене айналған кездегі
жұмысты табайық (21-сурет). Ғ күші айналу
осінен
аралықтағы О1 нүктесіне әсер
етеді, α-күштің әсер ету бағытымен
радиус-вектор арасындағы бұрыш. Дене
абсолют қатты болғандықтан, күштің
істейтін жұмысы дененің бұрылуға кеткен
жұмысына тең. Дене аз
бұрышқа бұрылғанда күштің әсер ету
нүктесі
жол жүреді және жұмыс ығысу бағытына
түсірілген күш проекциясы мен ығысу
шамасының көбейтіндісіне тең:
(4.12)
мұнда
(4.13)
айналу
осіне қатысты күш моменті;
күштің иіні.
Күш моменті вектор болғандықтан
деп жазамыз.
(4.13) формуланы (4.12)-ге қойсақ денені айналдырғандағы жұмыс күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең екендігін көреміз:
-
Д
ененің
айналғанда істейтін жұмысы оның
кинетикалық энергиясын арттыруға
кетеді
,
бірақ
,сондықтан
немесе
,
мұнда
болғандықтан
(4.14)
Векторлық түрде
,
(4.14а)
яғни айналған денеге әсер етуші күштің моменті дененің инерция моменті мен бұрыштық үдеуінің көбейтіндісіне тең.
Соңғы екі теңдеу қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі деп аталады.
Сұрақтар
Қатты денені айналдыруға жұмсалатын жұмысты есептеңіздер
Айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуін түсіндіріңіздер Импульс моменті, оның сақталу заңы
Массасы
кез-келген материалдық нүктенің
(бөлшектің) импульс моменті деп
айналу осінен нүктеге (бөлшекке) дейінгі
ара қашықтықтың (
)
нүктенің импульсіне (
)
көбейтіндісін айтады:
Олай болса барлық бөлшектердің импульс моменттерінің қосындысы қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті деп аталады:
(4.15)
Айналмалы
қозғалыстың сызықтық жылдамдығы
і
болғандықтан
(4.16)
Сонымен,
айналу осіне қатысты қатты дененің
импульс моменті
дененің сол оське қатысты инерция
моменті мен бұрыштық жылдамдығының
көбейтіндісіне тең векторлық шама.
Ось қозғалмайды деп алайық та (4.15) теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдайық
Ось
қозғалмайтын болғандықтан
материалдық нүктенің жылдамдығын, әрі
оның импульсін де сипаттайды. Сондықтан
бірінші қосынды коллинеар векторлардың
векторлық көбейтіндісі
болғандықтан нольге тең, ал екінші
қосынды Ньютон заңы бойынша
,
деп жазамыз, яғни
(4.17)
Бұл импульс моменті мен күштің арасындағы байланысты моменттер теңдеуі деп атайды және материалдық нүктенің қозғалмайтын оське қатысты импульс моментінің уақыт бойынша туындысы оның сол оське қатысты әсер ететін күш моментіне тең.
Соңғы теңдеу релятивистік механикада да қолданылады, өйткені ол өзгермелі масса үшін қорытылды.
(4.17) моменттер теңдеуінен қозғалмайтын оське қатысты денеге әсер ететін сыртқы күштердің моменті нольге тең болса, онда уақытқа дененің импульс моменті өзгермейді.
Егер
болса, онда (4.17) теңдеуінен
немесе
(4.18)
Бұл заң денелер жүйесі үшін де орындалады. Тұйық денелер жүйесіне сыртқы күштер әсер етпейді, олай болса бұл күштердің қорытқы күш моменті нольге тең. Сондықтан, кез-келген қозғалмайтын оське қатысты тұйық денелер жүйесінің импульс моменті әруақытта тұрақты.
Мұны импульс моментінің сақталу заңы деп атайды.
Бұл заңның орындалатындын гироскоптың айналуы арқылы дәлелдеуге болады, оған Жуковский орындығы да дәлел, сол сияқты акробатикалық элемент сальтода, балеттік элемент пируэтте де орындалады.
Импульс моментінің сақталу заңы айналмалы механизмдері бар электр двигательдерінде, ұшақтарда, бу двигательдерінде, су кемелерінде, автокөліктерде, т.б. байқалады.
Бір мысал келтірейік. Автокөлікті шартты түрде жетекші жұп дөңгелек пен кузовтан тұратын екі дене жүйесі деп қарастырайық. Бұл екі дене бір ортақ ось –жетекші жұп осінен айналады.
Машина орнынан қозғала бастағанда немесе жылдамдығын арттыра үдей қозғалғанда ол артқы екі дөңгелекке «отырғандай» болса, тоқтағанда алдыңғы екі дөңгелекке «отырғандай» болып көрінеді.
Автокөліктің «отыруын» жүйенің импульс моменті сақталу заңының орындалуымен түсіндіруге болады. Жетекші жұп дөңгелектерінің бұрыштық жылдамдықтары өзгергенде, яғни жетекші жұпты қосымша импульс моменті пайда болғанда, оған модулі тең, бірақ бағыты қарама-қарсы жұп дөңгелектің осіне қатысты кузовтың импульс моменті пайда болады. Кузов осы оське қатысты бұрылады, сондықтан да ол «отырады». Алдыңғы екі дөңгелекті кілт тежеп тоқтатса, машина төңкеріліп кетеді.
Сұрақтар
Импульс моментінің физикалық мәні қандай?
Моменттер теңдеуін қорытып шығарыңыздар
Импульс моментінің сақталу заңын тұжырымдаңыздар және
түсіндіріңіздер
Импульс моментінің сақталу заңына мысалдар келтіріңіздер
№5. Дәріс. Салыстырмалылық принципі. Релятивистік механика элементтері
Дәріс мақсаты: |
Релятивистік механиканың салыстырмалылық принципімен танысу. |
Дәріс жоспары: |
1. Галилей түрлендірулері.Абсолют, салыстырмалы және |
|
көшірілмелі жылдамдық пен үдеу. |
|
2. Арнайы салыстырмалылық теориясының постулаттары. |
|
3. Лоренц түрлендірулері. |
|
4. Релятивистік импульс және энергия |