Часть 5. Линейный оператор в евклидовом пространстве.

5.1 Cамосопряженный линейный оператор.

Определение . Линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве , называется самосопряжённым, если для скалярного произведения двух любых векторов этого пространства выполняется условие .

Теорема . Линейный оператор , действующий в , является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе этог о пространства его матрица является симметрической, то есть . (28)

5.2 Свойства собственных векторов и собственных значений самосопряжённого оператора.

Теорема. Если - самосопряжённый оператор, действующий в , и имеющий в некотором базисе матрицу A, то все корни характеристического уравнения

действительны.

Следовательно, если матрица А симметрическая, то корни уравнения действительны.

Теорема. Если - корень характеристического уравнения кратности k, то ему соответствуют k линейно независимых векторов оператора

Следствие. Самосопряжённый линейный оператор, действующий в , имеет n действительных собственных значений, считая кратные, и n линейно независимых собственных векторов.

Отсюда следует, что если - самосопряжённый оператор, то в существует базис из собственных векторов этого оператора. (29)

Теорема. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

То есть, если , то им соответствуют собственные векторы такие, что .

Вывод. Если - самосопряжённый оператор, действующий в ,то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. (30)

Следствие. Если А - симметрическая матрица, то её можно привести к диагональному виду причём , где - матрица перехода к новому базису, составленная соответствующим образом из координат собственных векторов матрицы А, образующих ортонормированный базис в . (31)

Такая матрица В обладает свойством и называется ортогональной. Поэтому

Преобразование пространства , задаваемое матрицей В, называется ортогональным.

5.3. Ортогональное преобразование евклидова пространства

(ортогональный оператор).

Определение. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых двух векторов пространства выполняется условие .

Следствия. а) При ортогональном преобразовании евклидова пространства ортогональные векторы преобразуются в ортогональные.

б) При этом не меняется норма вектора, так как .

в) Любой ортонормированный базис евклидова пространства под действием ортогонального оператора преобразуется в новый ортонормированный базис.

Теорема. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве , является ортогональным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе этого пространства ему соответствует ортогональная матрица В. (32)

Определение. Матрица В называется ортогональной, если , т.е. обратная матрица равна транспонированной. (33)

Некоторые свойства ортогональной матрицы.

1. .

2.Строки и столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированные системы, т.е. и равны нулю при и равны единице при .

Пример 27. Убедимся в том, что оператор , проектирующий линейное пространство на прямую l с единичным направляющим вектором , является самосопряженным.

Решение. Действие данного оператора можно выразить следующим образом:

. (См. пример16)

Отнесем все векторы к общему началу О. Пусть - ортонормированный базис пространства. Составим матрицу данного оператора в нем. (См.(11))

В выбранном базисе координаты единичного вектора ,

где - углы, составленные этим вектором с соответствующими базисными векторами.

Найдем образы базисных векторов и разложим их по векторам выбранного базиса.

Учитывая, что , имеем

,

,

.

Выписывая полученные координаты в соответствующие столбцы, получим матрицу данного оператора в выбранном ортонормированном базисе:

Матрица оператора в ортонормированном базисе такова, что _, т.е. симметрическая. Отсюда следует, что данный оператор является самосопряженным (см. (28)).

Пример 28. Проверим, является ли ортогональным оператор , который действует в пространстве и в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу .

Выясним, в чем заключается действие этого оператора.

Решение. Для проверки ортогональности данного оператора вычислим обратную матрицу и убедимся в том, что _{(см. (33))}.

. Действительно, .

Из теоремы (см.(32)) следует, что оператор является ортогональным.

Д алее отнесем все векторы пространства к общему началу О. Пусть ортонормированный базис, в котором задана матрица состоит из векторов .

П

Рисунок 5

од действием оператора базисные векторы преобразуются в векторы , которые тоже образуют ортонормированный базис.

Элементы столбцов матрицы являются координатами новых базисных

векторов .

То есть ,

.

Построив обе системы базисных векторов с общим началом О, выясняем, что пространство под действием оператора повернулось на угол относительно точки О и отобразилось симметрично относительно прямой, проходящей через точку О с направляющим вектором . (см. рис. 5)

Из рис. 5 следует, что

Замечание. В данном примере . Если матрица оператора имела бы вид , то ее _, и действие соответствующего оператора заключалось бы только в одном повороте пространства относительно точки О на угол .

Пример 29. Привести матрицу к диагональному виду. Указать матрицу перехода .

Решение. В некотором базисе евклидова пространства данной симметрической матрице соответствует самосопряжённый оператор. Следовательно, существует базис из его собственных векторов , и в этом базисе ему соответствует диагональная матрица . (см.(26))

Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение .

.

Найдём собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Так как все различны, воспользуемся способом, связанным с присоединённой матрицей (см. (27)).

Составим первый её столбец. (Его элементами являются алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы .

Заметим, что, так как все различны, собственные векторы, им соответствующие, не только линейно независимы, но и ортогональны. Действительно, все скалярные произведения (см. (30)) . То есть собственные векторы образуют ортогональный базис, в котором матрица оператора приобретает диагональный вид:

Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов, записанных в соответствующие столбцы.

(см. (4)).

Так как нормы базисных векторов не равны единице, эта матрица не является ортогональной.

Тогда связь между всеми матрицами имеет вид:

= .

Замечание. Если построить базис из пронормированных собственных векторов , то он будет ортонормированным. Матрица перехода в этом случае окажется ортогональной, само преобразование тоже будет ортогональным. И тогда будет верно равенство . Откуда следует

. (см. (31))

Построим матрицу перехода для ортогонального преобразования линейного пространства . Вычислим нормы собственных векторов:

(см.(28))

Тогда - ортонормированный базис:

,

- ортогональная матрица преобразования.

И теперь

Пример 30. Привести симметрическую матрицу к диагональному виду ортогональным преобразованием. Указать матрицу этого преобразования.

Решение. Матрица самосопряжённого оператора , заданного матрицей А в некотором ортогональном базисе, принимает диагональный вид в базисе из собственных векторов. Так как А - симметрическая матрица, то существует ортонормированный базис из этих векторов , который необходимо найти для построения матрицы преобразования.

Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение .

.

Третий вектор , соответствующий простому корню характеристического уравнения , можно найти, используя присоединённую матрицу

Но для этот способ использовать нельзя. Решим ОСЛАУ , где - матрица, соответствующая искомому собственному вектору.

Равенство равносильно системе, состоящей из одного уравнения . .

общее решение имеет вид

=

соответствуют два линейно независимых собственных вектора

и . Проверим попарную ортогональность собственных векторов. и (Так и должно быть, так как и )

Но . В задаче требуется построить ортонормированный базис, поэтому полученные не подходят. Можно подвергнуть векторы

процессу ортогонализации Грама-Шмидта. Можно поступить следующим образом.

соответствует бесконечное множество собственных векторов

, где произвольные числа. Один из них при

. Подберём так, чтобы векторы и

были ортогональными, то есть чтобы выполнялось условие

, , .

Пусть , тогда и - второй собственный вектор. Базис из собственных векторов является ортогональным. Пронормируем эти векторы и получим ортонормированный базис: , , (см.(9))

, - ортонормированный базис,

в котором матрица оператора приобретает диагональный вид:

Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов , и в новом базисе матрица оператора .(см. (31))

.

Ответ: .

58