Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»

И.В.Дубограй, М.Д.Ковалёв, О.В.Скуднева.

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР

В ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Электронное учебное издание

Методические указания к решению задач

по теме

☻☺

Москва

УДК 517.31

Рецензент: доц., к.ф.-м.н., Леонид Дмитриевич Покровский

Дубограй И.В., Ковалёв М.Д., Скуднева О.В..

Линейный оператор: электронное учебное издание. - М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2011. 35 с.

Издание содержит основные понятия и определения по теме "Линейное пространство", "Линейный оператор", предусмотренные учебным планом МГТУ им. Н.Э.Баумана. Представлен справочный материал, содержащий основные определения, формулировки необходимых теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предлагаются задачи для самопроверки. Также предложен способ вычисления собственных векторов матрицы линейного оператора с помощью присоединённой матрицы, мало известный , но обладающий определёнными преимуществами перед традиционным способом . Приведено доказательство соответствующей теоремы.

Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана всех специальностей.

Электронное учебное издание

Дубограй Ирина Валерьевна

Ковалёв Михаил Дмитриевич

Скуднева Оксана Валентиновна.

Линейные операторы и их собственные векторы

© 2012 МГТУ имени Н.Э. Баумана

Введение

В данном пособии представлен справочный теоретический материал, необходимый для освоения важных разделов высшей алгебры - линейного и евклидова пространства, преобразования пространства, диагонализация матриц линейного оператора. В компактной форме изложены все необходимые сведения из теории, подробно разобраны решения типовых задач.

Разделы «указаний» полностью соответствуют программе обучения студентов, утверждённой методической комиссией МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Авторы преследовали цель активизировать самостоятельную работу студентов, улучшить качество подготовки учащихся по данному разделу математики.

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей, а также будут полезны студентам старших курсов в качестве справочного материала.

Часть 1. Линейное и евклидово пространства.

1.1.Линейное пространство.

Определение. Множество элементов L называется линейным пространством, а сами элементы его векторами, если

1. определён закон, по которому любым двум векторам этого множества однозначно соответствует третий вектор,называемый их суммой ,

2. определён закон, по которому каждому вектору этого множества и числу ставится в соответствие единственный вектор, называемый произведением вектора на число: ,

3. определённые законами операции сложения и умножения вектора на число удовлетворяют следующим аксиомам:

а) ,

б) ,

в) в пространстве существует нуль- вектор , такой , что ,

г) для каждого вектора в пространстве существует

«противоположный» вектор , такой, что ,

д) ,

е) ,

ж) ,

з) , .

Замечание. Если произведение вектора и числа определено только для действительных , то пространство называется действительным линейным пространством.

Далее будем рассматривать только действительные линейные пространства.

Пример 1. Убедиться в том, что множество геометрических векторов V₃ является линейным пространством.

Решение. Действительно, если и то сумма векторов

есть новый вектор этого же пространства. И произведение - тоже новый вектор пространства V_3.

Аксиомы линейного пространства в пространстве V₃ есть свойства линейных операций с геометрическими векторами.

Аналогично можно показать, что пространство всех геометрических коллинеарных векторов V₁ и всех компланарных векторов V₂ являются линейными.

Пример 2. Убедиться в том, что множество функций , непрерывных на некотором отрезке , является линейным пространством.

Решение. Действительно, если две функции непрерывны на интервале , то их сумма есть новая функция, непрерывная на этом интервале, и произведение непрерывной функции на число есть новая непрерывная функция. Аксиомы линейного пространства в этом случае есть свойства линейных операций с непрерывными на функциями.

Ответ: данное множество является линейным пространством и обозначается .

Пример 3. Является ли множество многочленов степени k с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число линейным пространством?

Решение. Многочлен степени k имеет вид

Суммой двух многочленов степени k является новый многочлен, степень которого может быть либо равна k, либо окажется меньше k. Так, например, для k=2, если и , то сумма

не принадлежит данному множеству.

Ответ: данное множество не является линейным пространством.

Пример 4. Убедиться в том, что множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.

Решение. Дано множество . Сумма двух любых векторов этого множества

- есть многочлен, степень которого не выше k, то есть . Таким образом, - новый вектор, принадлежащий данному множеству .

Произведение вектора и числа : - новый многочлен, степень которого равна либо m, либо 0, если , то есть

Ответ: множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.

Пример 5. Выяснить, является ли линейным пространством множество матриц A одного и того же размера m x n?

Решение. Суммой двух матриц одного размера является новая матрица того же размера.

A_mxn +B_mxn=C_mxn , где элементы .

Произведение матрицы на число есть новая матрица того же размера λA_mxn=D_mxn, где .

Свойства линейных операций с матрицами совпадают с аксиомами линейного пространства.

Ответ: данное множество является линейным пространством.

Пример 6. Является ли линейным пространством множество одностолбцовых матриц размера , элементы которых неотрицательны?

Решение. Суммой двух матриц данного пространства A_mx1 и B_mx1 является новая матрица A +B=C_mx1 такого же размера с неотрицательными элементами, то есть сумма элементов в этом пространстве определена. Произведением матрицы A данного пространства и числа

является новая матрица λA_mx1=D_mx1

такого же размера, но если число λ<0, то элементы матрицы D окажутся отрицательными, т. е. произведение матрицы на число не принадлежит этому пространству.

Ответ: данное множество не является линейным пространством.

Замечание. Рассмотрим пространство элементов, каждый из которых является упорядоченным набором n действительных чисел . Если операции сложения и умножения на число определить так, что

и , то будут выполняться все аксиомы линейного пространства. Нуль-вектор возьмём . Значит, рассматриваемое просранство является линейным. Такое пространство называется линейным пространством арифметических векторов.