Задачи №№21-30

Эти задачи следует решать после изучения темы 1.7 "Центр тяжести" и внимательного разбора примеров 4 и 5.

В этих задачах требуется определить центры тяжести плос­кого составного сечения. Навыки определения центра тяжести плоских фигур необходимы для успешного решения многих прак­тических задач в технике, например, при расчетах на прочность в задачах сопротивления материалов.

Последовательность решения задач:

1. Разбить составное сечение на простые элементы, для кото­рых центры тяжести известны. К простым также относятся сече­ния профилей стандартного проката.

2. Определить площадь каждой простой фигуры.

3. Выбрать положение осей координат.

4. Определить координаты центров тяжести отдельных про­стых фигур относительно выбранных осей координат заданного плоского составного сечения.

5. Определить положение центра тяжести всего сечения по формулам:

где х_с и у_с — искомые координаты центра тяжести заданного со­ставного сечения;

х_i и y_i; - координаты центров тяжести простых фигур, которые определяются непосредственно из заданных размеров;

A_i - площади простых фигур, которые определяются исходя из заданных размеров.

Пример 4

Для заданной плоской фигуры (тонкой однородной пласти­ны) определить положение центра тяжести. Размеры даны на ри­сунке 11.

Рисунок 11

Решение

Определение положения центра тяжести фигуры означает определение координат этого центра. Расчеты ведем в сантимет­рах.

1 Данную сложную фигуру представляем состоящей из трех простых: 1 - прямоугольник

2. - треугольник

3. - круг

2 Площадь прямоугольника без учета имеющихся в нем отверстий берем в расчете со знаком "плюс", а площадь круга и треугольника со знаком "минус".

3 Проводим оси координат так, чтобы все сечение было рас­положено в первом квадранте (координаты центров тяжести будут положительными).

4 Определяем координаты центров тяжести простых фигур: Вспомним, что центр тяжести прямоугольника лежит на пе­ресечении его диагоналей.

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его ме­диан. Расстояние от центра тяжести треугольника до его основания равно высоты.

Определим координаты центра тяжести круга:

х₃ = 15 - 3 = 12 см; у_ъ = 2 см

5 Координаты центра тяжести заданной фигуры определяем по формулам:

Центр тяжести С всего сечения показан на рисунке 11.

Пример 5

Для заданного сечения, изображенного на рисунке 12, со­ставленного из приваренных друг к другу прокатных профилей, определить положение центра тяжести.

Рисунок 12

Решение

1 Данное сложное сечение представляем состоящим из двух простых частей:

1. - двутавра № 16

2. - швеллера № 20.

Чертим сложное составное сечение в масштабе

5 Центр тяжести всего сечения определяем по формулам:

2Определяем площади простых частей. Площади двутавра и швеллера, берем из таблиц ГОСТа сортамента прокатной стали (приложения Б, В). Все расчеты ведем в сантиметрах, так как в таблицах ГОСТов на профили проката размеры даны в сантимет­рах.

1. Проводим оси координат так, чтобы все сечение было рас­положено в первом квадранте.

2. Определяем координаты центров тяжести швеллера и дву­тавра:

Центр тяжести С всего сечения показан на рисунке 12.

При решении задач на определение центра тяжести начало системы координат целесообразно совмещать с центром тяжести одной из фигур. В этом случае расчеты значительно упрощаются.

Задачи №№31 -40

К решению задач кинематики следует приступить после изучения тем 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 и разбора примеров 6, 7, 8, 9.

Необходимо четко представлять, что такое скорость и уско­рение движения точки, знать, какие существуют виды движения точки в зависимости от ускорения.

Ускорение - векторная величина, которая характеризует бы­строту изменения скорости, как по модулю, так и по направлению.

Ускорение, характеризующее быстроту изменения числово­го значения скорости, называют касательным, а по направлению-нормальным.

Касательное ускорение а_τ, всегда направлено по касательной

к траектории в рассматриваемый момент времени.

Если числовое значение скорости с течением времени оста­ется неизменным, то касательное ускорение отсутствует. Это слу­чай равномерного движения. Движение с постоянным касатель­ным ускорением называется равнопеременным.

Нормальное ускорение а_п всегда направлено по радиусу к центру кривизны траектории. Если точка движется прямолинейно, то скорость по направлению не меняется, значит, нормальное ус­корение отсутствует.

При поступательном движении тела для решения задач при­менимы все формулы кинематики точки. Формулы для определе­ния угловых величин характеризующих движение тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси, имеют вид, аналогичный фор­мулам для определения соответствующих линейных величин по­ступательно движущегося тела. (Таблица 6).

Таблица 6

Для решения задач кинематики нужно использовать соот­ветствующие готовые уравнения и формулы, выведенные в учеб­никах.

Решение задач следует иллюстрировать рисунками.

К решению задач динамики следует приступить после изу­чения тем 1.13, 1.14, 1.15, 1.16 и разбора примеров, 10, 11, 12, 13, 14.

Для того, чтобы успешно решить задачи по динамике необ­ходимо разобраться в физическом смысле аксиом динамики, нау­читься использовать основанный на принципе Даламбера метод кинетостатики, который позволяет применять уравнения равнове­сия статики для тел, двигающихся с ускорением.

При этом не нужно забывать, что сила инерции прикладыва­ется к телу, двигающемуся с ускорением условно и в действи­тельности на него не действует.

Следует разобраться в физическом смысле понятий работы и мощности, изучить законы динамики для случаев поступательно­го и вращательного движения тел.

Так же, как в кинематике, в динамике между формулами для расчета поступательного и вращательного движений существует аналогия, иллюстрируемая таблицей 7.

Таблица 7

Основные параметры		Поступа- тельное движение	Вращательное движение
Дина­мика	Силовое воздействие Мера инертности Основной закон динамики Работа Мощность Кинетическая энергия	Сила F Масса m F = т.а W = F .S P = F.v Ek=	Момент М Динамический момент инерции J M = J.E W = М .φ Р = М. ω

Пример 6

Поезд движется со скоростью υ= 50 км/ч по криволинейно­му участку пути радиусом R= 400 м. Определить ускорение поез­да и пройденный путь за три минуты. (Рисунок 13).

Рисунок 13

Решение

Движение поезда вдоль кривой осуществляется с постоян­ной скоростью υ= const, поэтому полное ускорение равно нормальному:

а = а_п = ;

υ= 50 км/ч = = 13,89 м/с,

тогда м/с²

Определяем путь, пройденный поездом за t = 3 мин =180 с.

S|_t=3 = v^. t = 13,89 ^. 180 = 2500 м = 2,5 км

Пример 7

По кривой радиусом R = 1200 м движется поезд. Его ско­рость в начале движения составляет υ_o = 60 км/ч.

После того как поезд прошел расстояние 800 м, его скорость уменьшилась до 36 км/ч. определить полное ускорение в начале и конце движения.

Решение

Поезд совершает криволинейное равнозамедленное движе­ние.

(Рисунок 14)

Рисунок 14

Определяем величину касательного ускорения из уравнений:

Из второго уравнения

Из первого уравнения

Так как движение равномерно замедленное, то касательное ускорение в течение всего времени движения постоянно. Найдем нормальное ускорение:

в начале движения: м/с²

в конце движения м/с²

полное ускорение: в начале движения:

в конце движения:

Пример 8

При равнопеременном движении точки по дуге окружности радиуса R= 500 м и на пути S = 1200 м ее скорость уменьшается с 30 до 10 м/с. Найти время движения и пройденный путь до полной остановки точки.

Рисунок 15

Решение

В задаче дано изменение скорости на пути S=1200 м (ри­сунок 15). Ни из формулы пути, ни из формулы скорости непо­средственно нельзя найти касательное ускорение или время этого движения.

Запишем обе формулы:

Из формулы (2)

Подставим полученное выражение в (1) и выразим время t:

откуда

тогда

Найдем касательное ускорение

откуда

Вычислим время движения точки до полной остановки. Обо­значим его t_k

Пример 9

Колесо локомотива вращается так, что точка, лежащая на расстоянии 0,6 м от центра, движется по закону

S = 0,6^.t + 0,2^.t³ (S - в метрах, t - в секундах). Найти для мо­мента времени t = 3 с величину угловой скорости и углового ус­корения (рисунок 16).

Рисунок 16

Решение

Определяем закон изменения скорости точки

Скорость точки в момент времени t₁ = 3 с:

Угловая скорость тела в момент времени t₁ = 3 с

Закон изменения ускорения точки:

Касательное ускорение точки в момент времени t₁ = 3 с:

Угловое ускорение тела в момент времени t₁ = 3 с:

Пример 10

В момент выключения якоря тягового двигателя маховик имел частоту вращения п = 210 об/мин. Сколько оборотов сделал он до полной остановки при замедлении ε = 0,628 рад/с²? Какова продолжительность торможения?

Решение

Маховик вращается равнозамедленно, его движение опреде­ляется уравнением

Уравнение угловой скорости имеет вид

В момент остановки ω= 0, следовательно:

Выразим угловую скорость в рад/с

тогда

Определяем угловое перемещение:

Зная, что один оборот, измеренный в радианах, выражается числом 2π, определяем число оборотов маховика до остановки:

Пример 11

Мостовой кран опускает груз с начальной скоростью vo = 0,5 м/с и через t = 2 с останавливается. Вес груза 2500 Н. Оп­ределить в момент спуска натяжение R каната, к которому подве­шен груз. Движение считать равнозамедленным.

Решение

На груз действуют следующие силы: вес груза, направлен­ный вертикально вниз, и реакция каната, направленная верти­кально вверх (рисунок 17).

Рисунок 17

Приложим к грузу силу инерции F_u = m ^. а, направленную противоположно ускорению, т.е. вертикально вниз.

Воспользуемся принципом Даламбера. Из условия равнове­сия сил, действующих по одной прямой, имеем:

Из уравнения скорости равнозамедленного движения опре­делим величину ускорения:

следовательно,

Определяем величину силы инерции:

Сила натяжения каната

В эту формулу ускорение а, вводится по абсолютной вели­чине, следовательно, имеем

Пример 12

Определить, с какой постоянной скоростью автомобиль мас­сой m = 2000 кг движется по выпуклому мосту, если в верхней точке моста сила давления автомобиля на мост составляет 11,6 кН. Радиус кривизны моста R= 100 м

Решение

Освободим автомобиль от связи и приложим к нему силу ре­акции моста. На основании закона равенства действия и противо­действия сила реакции моста численно равна силе давления авто­мобиля на мост и противоположна ей по направлению, следова­тельно, R = 11,6 кН. На автомобиль действует активная сила - его сила тяжести G. Сила тяжести автомобиля и сила реакции не на­ходятся в равновесии, так как автомобиль совершает криволиней­ное движение. (Рисунок 18).

Рисунок 18

Двигаясь по мосту, автомобиль совершает равномерное кри­волинейное движение, при котором возникает лишь нормальное ускорение, направленное по радиусу к центру кривизны моста, а касательное - отсутствует. Воспользуемся принципом Даламбера и приложим к авто­мобилю кроме указанных сил еще силу инерции, направленную противоположно ускорению.

Схема сил, действующих на автомобиль, указана на рисунке 18.Все силы действуют по одной прямой, поэтому можно со­ставить одно уравнение равновесия:

Выразим силу тяжести G и силу инерции F_ин через массу ав­томобиля: G = m ^. g F_ин= m ^. a_n

Вспомним, что , тогда

Подставим полученные выражения в уравнение равновесия:

Выразим из последнего уравнения скорость υ и определим её

Пример 13

Найти силу, действующую в зацеплении зубьев шестерни и колеса, если диаметр шестерни d = 210 мм. Передаваемая мощ­ность Р = 200 кВт при частоте вращения n = 1200 об/мин.

Решение

Мощность при вращательном движении определяется

по формуле:

Так как

Искомая сила

Пример 14

Поезд движется со скоростью 30 м/с по горизонтальному и прямолинейному участку пути. Завидев опасность, машинист на­чинает тормозить. Определить время до полной остановки и тор­мозной путь, если сила торможения равна 0,1 от веса поезда.

Решение

Приложим к поезду изображенному на рисунке 19 все дей­ствующие на него силы. На поезд действует неуравновешенная система сил. Сила тяжести G и сила реакции R уравновешивают друг друга, поэтому равнодействующая система сил равна силе торможения F_t. Воспользуемся теоремой об изменении количест­ва движения и найдем время торможения. Импульс силы тормо­жения условились считать отрицательным:

Рисунок 19

Нас интересует время движения до полной остановки, по­этому конечная скорость v = 0.

Но по условию сила торможения F_t = 0,1^.G, а массу поезда можно выразить из основного закона динамики: G = m ^.g, откуда

.

тогда

Для определения тормозного пути воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, взяв работу силы торможе­ния со знаком "минус":

Но υ= 0, тогда

откуда

Тогда