Последовательность решения задач;

1 Выбрать узел, равновесие которого должно быть рассмотрено

(узел В).

2 Освободить узел В от связей, заменив их реакциями и изобразить действующие на него заданные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направлять вдоль их оси от шарнира В, предварительно считая стержни растянутыми.

3 Выбрать направление осей координат, совместив их начало с точкой В.

Решение можно упростить путем рационального выбора направления координатных осей. Одну из осей целесообразно направить перпендикулярно неизвестной силе, тогда ее проекция на эту ось будет равна 0.

4 Составить и решить уравнения, используя условия равновесия плоской системы сходящихся сил:

5 Проверить правильность полученных результатов графически.

Вспомним, что проекция силы на ось численно равна произведению модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и направлением оси координат. Знак проекции определяется и непосредственно по рисунку 4.

Рисунок 4

Если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси, то берется знак "плюс". При обратном направлении - знак "минус"

Следует помнить, что проекция силы на ось не векторная, а скалярная величина.

Пример 1

Определить реакции стержней АВ и ВС кронштейна, удер­живающего в равновесии груз F₂ = 0,5 кН и растянутую пружину, сила упругости которой F₁ = 0,3 кН. Весом частей конструкции, а также трением на блоке пренебречь. (Рисунок 5).

Рисунок 5

Решение

1. Рассматриваем равновесие шарнира В.

2 Освобождаем шарнир В от связей, заменяя их реакциями и изображаем действующие на него заданные силы и реакции свя­зей. (Рисунок 6).

Рисунок 6

К точке В приложены заданные активные силы - сила натя­жения троса BD, равная весу груза F₂ и сила упругости пружины F₁ . Эти силы направляем от точки В, т.к. трос и пружина растя­нуты.

Рассматривая точку В, как свободную, отбрасываем связи (стержни АВ и ВС), заменяя их действие реакциями R_AB и R_BC .

Реакции стержней направляем от точки В вдоль их осей, т.к. предварительно полагаем стержни растянутыми. Если это пред­положение окажется неверным, то искомая реакция стержня по­лучится в ответе со знаком "минус". Это говорит о том, что стер­жень сжат, а истинное направление реакции к точке В.

На узел В действует плоская система сходящихся сил. Полу­ченная расчетная схема изображена на рис. 6.

3 Выбираем систему координат, совместив ось У по направ­лению с реакцией Rbc. Начало координат поместим в точке В. На узел В действует плоская система сходящихся сил.

4 Составляем и решаем уравнения равновесия для системы сходящихся сил, действующих на шарнир В.

Σ Fix ⁼ 0 _ алгебраические суммы проекций сил

системы на оси Х и У.

Σ Fiу ⁼ 0

4.1 Составляем уравнение проекций на ось У. Так как, совместив ось Х с реакцией R_BC , в этом уравнении получим лишь одно неизвестное. Сила R_BC не войдет в уравнение, т.к. она перпендику­лярна оси У:

ΣF_iу=0

-F₁^.cos45° -F₂ ^.cos45° + R_AB ^.cos15⁰ = 0

4.2 Спроецируем все силы на ось х:

R_BC + R_AB ^. cos75° + F₂ ^. cos45° - F_] ^.cos45° = 0

R_bc = -R_AB ^.cos75° -F₂ ^.cos45° + F₁ ^.cos45° =

= -0,586 ^. 0,259 - 0,5 ^. 0,707 + 0,3 ^. 0,707 = -0,293 kH

Решив систему уравнений, нашли, что

R_BC = -0,293 кН и Rab = 0,589 кН .

Знак "минус" перед численным значением реакции R_bc пока­зывает, что стержень ВС не растянут, как предполагалось, а сжат.

5 Для проверки правильности решения применяем графиче­ский метод.

Полученная система сил (рисунок 6) находится в равнове­сии, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник в следующем порядке. (Ри­сунок 7).

Рисунок 7

В выбранном масштабе (например, µ_сил = 0,1 )

От произвольной точки откладываем вектор заданной силы F₁

(ab = F₁), затем от конца вектора F₁ - вектор заданной силы F₂ (bс = F₂).

Затем через начало вектора F₁, и конец вектора F₂ проводим

известные направления искомых реакций стержней АВ и ВС. Эти прямые пересекаются в точке d. В результате построения образо­вался замкнутый многоугольник abсd, в котором сторона cd = R_BC , а сторона ad = R_AB.

Стрелки, изображающие направления сил R_AB и R_BC, ставим таким образом, чтобы в силовом многоугольнике было единое направление обхода (в данном случае против часовой стрелки).

Следует отметить, что силовой многоугольник показывает истинное, а не предполагаемое, направление искомых сил.

Измерив длины этих сторон в см и умножив на масштаб по­строения µ_сил, получаем значение реакций стержней:

R_AB = ad ^. µ_сил = 6,0 ^. 0,1= 0,6 кН,

R_BС= cd^.µ_cил =3,0^.0,1 = 0,3 кН.

Вывод: графическое решение подтверждает правильность аналитического решения.

Точность графического метода тем выше, чем крупнее при­нят масштаб построения.

Задачи №№ 11 -20

К решению этих задач следует приступить после изучения темы 1.3 "Пара сил и момент силы относительно точки", темы 1.4 "Плоская система произвольно расположенных сил", уяснения приведенных ниже методических указаний и разбора примеров 2 и З.

Во всех задачах определению подлежат опорные реакции связей балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы произвольно расположенных сил. Балки опираются на шарнирные опоры.

Последовательность решения задач:

1. Изобразить балку вместе с нагрузками.

2. Выбрать положение координатных осей и центров момен­тов:

- при выборе расположения осей координат удобно совмес­тить ось Х

с осью балки;

-центры моментов целесообразно выбирать в точках пересечения неизвестных сил.

3 Произвести необходимые преобразования заданных актив­ных сил:

- силу F наклоненную к оси балки под углом 30° заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими F_x и F_У.

- равномерно распределенную нагрузку заменить ее равно­действующей, приложенной в середине участка распреде­ления нагрузки.

4 Освободить балку от опор, заменив их действие реакция­ми, составляющие которых направить вдоль выбранных осей ко­ординат.

5 Составить и решить уравнения равновесия статики для плоской системы сил. Уравнения равновесия удобнее составлять, таким образом, и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6 Проверить правильность найденных опорных реакций, ре­шив уравнение, которое не было использовано для решения зада­чи.

Напоминаем, что моментом силы относительно точки назы­вается произведение модуля силы на плечо, т.е. на длину перпен­дикуляра, восстановленного из точки, относительно которой бе­рется момент (центра момента), на линию действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело по часовой стрелке (рисунок 8а), и отрицательным (рисунок 86), если его действие направлено в противоположную сторону.

Рисунок 8

Следует обратить внимание на то, что момент силы относи­тельно точки равен нулю в том случае, когда линия действия силы проходит через эту точку.

Нужно иметь в виду, что в отличие от момента силы, момент пары сил не зависит от положения этой пары сил на плоскости.

Решение задач можно упростить путем рационального вы­бора направления координатных осей и положения центров мо­ментов.

Пример 2

Определить реакции опор балки, изображенной на ри­сунке 9а.

Рисунок 9

Решение

1 Изобразим балку, соблюдая заданные размеры ее участков и угла 30°. Рассмотрим равновесие балки под действием прило­женных к ней нагрузок: силы F, равномерно распределенной на­грузки с интенсивностью q и пары сил с моментом М.

2 Начало координат поместим в точке А, ось Х совместим с осью балки. За центры моментов принимаем точки пересечения неизвестных сил, т.е. точки А и D.

3 Силу F заменяем ее составляющими F_x =F ^.cos30° F_y = F ^. cos 60 . Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки величиной q^.2 приложена в середине участка CD в точке К. (Рисунок 9б).

4 Освобождаем балку от опор, заменив их действие опорами реакциями (рисунок 9б). В шарнирно-подвижной опоре D ре­акция R_Dy направлена по перпендикуляру к опорной поверхности.

Величина и направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестны. В этом случае реакцию R_A заменяют двумя составляющими: вертикальной R_Ay и горизонтальной R_AX . Те­перь на балку действует плоская система произвольно располо­женных сил.

5 Составляем три уравнения равновесия статики и определя­ем неизвестные реакции опор:

ΣM_A= 0 - алгебраическая сумма моментов всех сил относительно точки А

ΣM_D=0 - алгебраическая сумма моментов всех сил относительно точки D

ΣF_ix=0 - алгебраическая сумма проекций всех сил на ось х

5.1 ΣМ_А = 0

F_y^.1+ M + q^.2^.3-R_Dy^._.4 = 0

5.2 ΣM_D = 0

Ray^.4 – Fy^.3 + M-q^.2^.1 = 0

5.3 ΣFix = 0

Rax – Fx = 0

R_AX = F ^. cos30° = 2 ^. 0,866 = 17,3 кН

6 Проверяем правильность найденных результатов, составив уравнение алгебраической суммы проекций всех сил на ось У:

ΣF_iy = 0

Условие равновесия Σ F_jv = 0 выполняется, следовательно, реакции опор

найдены, верно.

Пример 3

Для балки, изображенной на рисунке 10а определить опор­ные реакции.

Рисунок 10

Решение

1. Рассмотрим равновесие балки АВ.

2 Начало координат поместим в точке А. За центры момен­тов принимаем точки А и В.

3 Равномерно распределенную нагрузку заменим равно­действующей q ^.2 (рисунок 10 б).

4 Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рисунок 10 б).

5 Для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия

5.l ΣM_A = 0; - М + F₁ ^. 1,5 + q ^. 2 ^. 2,5 - F₂ ^. 4,5 - R_By ^. 6 = 0

5.2 ΣM_B = 0; Ray ^. 6 - M – F₁ ^. 4,5 - q^. 2^. 3,5 + F₂ ^. 1,5 = 0

Значение реакции R_By получено со знаком "минус". Это оз­начает,

что она направлена вертикально вниз.

6 Для проверки правильности найденных реакций опор бал­ки составляем уравнение алгебраической суммы проекций всех сил на ось У.

ΣFiy = 0 ; Ray – F₁ – q^.2 + F₂+R_By = 11-10 – 4^.2 + 8 + (-1) = 0

Следовательно R_Ay и R_By определены верно.