Задачи №№11-20

Задачи 11-20 следует решать после изучения темы 2.6 "Из­гиб" и внимательного разбора примеров 18, 19.

На изгиб работают большинство элементов кузова, рамы, валы в передачах и др. Прочность эле­ментов, работающих на изгиб обеспечивается правильным подбо­ром формы и размеров сечения.

Прямым поперечным изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q; изгибающий момент М_и.

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на оставшуюся часть:

Изгибающий момент М_и в произвольном поперечном сече­нии бруса численно равен алгебраической сумме моментов внеш­них сил, действующих на оставшуюся часть, относительно центра тяжести сечения:

Здесь имеется в виду, что все внешние силы и моменты дей­ствуют в главной продольной плоскости бруса, причем силы рас­положены перпендикулярно продольной оси.

Для определения опасного сечения строят эпюры Q и М_и, используя метод сечений.

Правило знаков для поперечной силы

Внешние силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, считаем положительными, а силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения против часо­вой стрелки, считаем отрицательными (рисунок 28а).

Правило знаков для изгибающих моментов.

Внешние моменты, изгибающие мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть бруса выпуклостью вниз, считаем положительными, а моменты, изгибающие отсечен­ную часть бруса выпуклостью вверх (рисунок 28 б) - отрицатель­ными.

Рисунок 28

Условие прочности для балок, работающих на изгиб, имеет вид:

где σ_max - максимальные нормальные напряжения;

W_x - осевой момент сопротивления сечения изгибу относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости действия М_и;

М_и - абсолютное значение наибольшего изгибающего мо­мента;

[σ]_и - допускаемые напряжения.

Пример 18

Для заданной консольной балки, изображенной на рисунке 29, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать сечение балки в виде двутавра, если [σ]_и = 160 МПа.

Рисунок 29

Решение

Разбиваем балку на участки. Границы участков целесообраз­но проводить через точки приложения сосредоточенных сил, мо­ментов, начала и конца равномерно распределенной нагрузки.

Построение эпюр Q и М_и будем вести от свободного конца, чтобы не определять реакции опор.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и правую часть балки отбросить.

Затем по действующим на оставленную часть балки внешним на­грузкам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ра­нее правилом знаков.

1 Построение эпюры поперечных сил (рисунок 29а).

Проводим сечение 1 -1

Так как Q₁ = f(z₁) является уравнением прямой линии, для построения которой нужны 2 точки:

при z₁ = 0 Q_A =0

при z₁ = 2 Q_В = -q ^. 2 = - 5 ^. 2 = - 10 кН

Проводим базовую линию эпюры Q. Перпендикулярно к ней в выбранном масштабе откладываем ординаты, соответствующие значениям

z₁ = 0 и z₂ = 2 м.

Через 2 полученные точки проводим прямую линию, кото­рая представляет эпюру Q на первом участке.

Так как поперечная сила в пределах второго участка являет­ся величиной постоянной, поэтому эпюра Q на втором участке представляется прямой, параллельной базовой линии.

Сечение 3-3

Эпюра на участке III представляется также прямой парал­лельной базовой линии.

2 Построение эпюры изгибающих моментов (рисунок 29 б).

Сечение 1-1

В это уравнение переменная величина z₁ входит в квадрате, поэтому зависимость M_u(z₁) графически изображается квадратич­ной параболой.

Для построения параболы нужно как минимум три точки.

Проводим базовую линию эпюры М_и и в выбранном мас­штабе откладываем ее ординаты соответствующие, значениям z₁ = 0; z₁ = 1 м;

z₁ = 2 м. Соединяем точки, получаем квадратичную параболу, направленную выпуклостью навстречу нагрузке с вер­шиной в т. А.

В дальнейшем при построении эпюр изгибающих моментов полезно помнить, что квадратичная парабола своей выпуклостью всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

Сечение 2-2

Эпюра изгибающих моментов на участках 2 и 3 представле­на наклонными прямыми.

Для построения эпюр необходимо запомнить следующие правила:

- На участке балки, где отсутствует распределенная нагруз­ка, эпюра Q - прямая, параллельная базовой линии, а эпю­ра М_и - наклонная прямая (участки 2 и 3).

• В точках, где приложена сосредоточенная сила на эпюре Q наблюдается скачок, численно равный приложенной внеш­ней силе, а на эпюре М_и - излом (точка С).

• В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре моментов происходит скачок на величину момента, при­ложенного в этой точке, а эпюра Q не претерпевает изме­нения (точка В).

- На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Q выражается наклонной прямой, а эпюра Ми - па­раболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки (участок 1).

- Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.

- Если на границе распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Q участок, параллель­ный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а па­раболическая и наклонная части эпюры М_и сопрягаются плавно без изгиба.

-Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю

(точка А), за исключением случая, когда в кон­цевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении бал­ки равен моменту действующей пары сил.

- В сечении, соответствующем заделке, Q и М_и численно равны опорной реакции и реактивному моменту (точка D).

3 Подбираем номер профиля двутавра из условия прочности при изгибе, если [σ]_и= 160 МПа.

Отсюда

где W_x - осевой момент сопротивления сечения;

М - максимально изгибающий момент, т.е. наибольший по абсолютной величине, определяем непосредственно из эпюры М_и.

Тогда

По значению W_x = 156,3 см³ (приложение Б сортамента) под­ходит двутавровый профиль № 20, для которого W_x = 184 см³.

Для балок, имеющих много участков нагружения, т.е. на­груженных комбинацией нагрузок, целесообразно строить эпюры по характерным сечениям, а именно: вычислять поперечные силы и изгибающие моменты только для сечений, в которых эпюры претерпевают изменения, а затем, зная закон изменения эпюры между найденными сечениями, соединить их соответствующими линиями. К характерным относятся сечения, в которых приложе­ны сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где на­чинается или кончается распределенная нагрузка.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сто­рону от рассматриваемого сечения, отбросить. Затем по дейст­вующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ранее правилом знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, a Q_y и М_х находятся по силам, действующим на ле­вую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, от­брасывается левая часть, a Q_y и М_х определяются по силам, дейст­вующим на правую часть балки.

Пример 19

Для балки, показанной на рисунке 30 построить эпюры по­перечных сил и изгибающих моментов. Подобрать сечение в виде сдвоенного швеллера, если [σ]_и=130 МПа.

Рисунок 30

Решение

1 Прежде, чем приступить к построению эпюр Q и М_и необ­ходимо определить реакции опор:

Для проверки составляем алгебраическую сумму проекций всех сил на ось У:

2 Определяем поперечную силу на каждом участке и стро­им эпюру (рисунок 30а).

В выбранном масштабе на рисунке 30а откладываем най­денные значения поперечной силы. Эпюра построена.

Определяем значения изгибающих моментов в сечениях А, В, С, D:

т.к. в концевом сечении приложен внешний сосредоточен­ный момент.

В сечении А момент равен нулю, т.к. в концевом сечении не приложен внешний сосредоточенный момент.

В выбранном масштабе на рисунке 30 б строим эпюру изги­бающих моментов.

В сечении С на эпюре наблюдается скачок, равный М₂ = 10 кНм.

3 Определяем номер швеллера из условия прочности. Опас­ным будет сечение С, где возникает максимальный изгибающий момент

для 2-х швеллеров:

для 1-го швеллера:

По таблице сортамента (приложение В) подбираем швеллер №33,

для которого W_X = 484,0 см³.

Пример 20

Для консольной балки, изображенной на рисунке 31, по­строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подоб­рать номер двутавра, если [σ]_и = 160 МПа.

Рисунок 31

Решение

С левой стороны на балку не наложено никаких связей и по­этому эпюры строим со свободного левого конца балки.

1 Определяем поперечную силу Q на каждом участке:

Выбираем масштаб и строим эпюру на рисунке 31а.

2 Определяем изгибающий момент в каждом сечении:

Выбираем масштаб и строим эпюру по найденным значени­ям изгибающих моментов на рисунке 31 б.

3 Определяем номер двутавра из условия прочности:

Тогда

По таблице сортамента (приложение Б) подбираем двутавр № 36, для которого W_x = 516,0 см³.