28. Система линейных оду 1-ого порядка с постоянными коэффициентами (случай комплексных корней)
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных называется нормальной системой:
Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений называется система вида
Если , то система с постоянными коэф – ми.
Если все функции , то система дифференциальных уравнений называется линейной однородной системой.
Система в матричном виде:
Система в матричном виде может быть решена с помощью метода Эйлера.
По методу Эйлера решение системы ищется в виде , ,…, , постоянные числа, не равны 0 одновременно. Необходимо составить фундаментальную систему, а нулевое решение может не входить в нее.
где
находятся из характеристического ур – ия, которое получается из .
Если
комплексно – сопряженные:
,
а в качестве ф.с.р. можно взять л.н.з.
вещественные решения
– для
системы из 2 – х ур – ий.
29. Общее решение однородной системы линейных оду. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений называется система вида
Если , то система с постоянными коэф – ми.
Если все функции , то система дифференциальных уравнений называется линейной однородной системой.
Система в матричном виде:
Для
линейной однородной системы ОДУ
порядка
справедлива
следующая теорема
о структуре общего решения
этой системы.
Если
матрица
непрерывна на
,
то общее решение системы
=
имеет вид
где
— фундаментальная матрица решений
однородной линейной системы, 
столбцы этой фундаментальной матрицы
решений,
произвольный
постоянный вектор-столбец.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Зная
фундаментальную систему решений
однородной
системы
=
,
методом вариации произвольных постоянных
можно найти решение неоднородной
системы
. Метод вариации произвольных постоянных
состоит в том, что решение системы ищется
в виде
где
некоторые непрерывно – дифференцируемые
функции.
Подставив это решение в систему, получим
Учитывая,
что
,
функции
можно найти из системы
