Вопросы по курсу оду 2015-2016 уч. Год.

1.      Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ).

К понятию обыкновенного дифференциального уравнения приводят физические и геометрические задачи.

Физическая задача. Найти закон движения материальной точки под действием силы тяжести.

Решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения.

Уравнение, описывающее свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления является ОДУ и может быть записано в виде:

2.      Определение ОДУ. Порядок ОДУ.  Задача Коши для уравнения n-ого порядка. Общие и частные решения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , т.е. уравнение вида

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Задача Коши для любого дифференциального уравнения n -го порядка 

.

Общим решением ДУ называется ф – ия , зависящая от одной произвольной постоянной С.

Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при каком – либо определенном значении С.

3.      Геометрический смысл уравнения 1-ого порядка. ОДУ 1-ого порядка, его геометрический смысл. Изоклины.

Общий вид ДУ 1 – ого порядка: . => . Уравнение в каждой точке области D, в которой задана функция , определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку , т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. (Геом. смысл)

Задачи построения интегральной кривой часто решают методом введения изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление.

4.     Теорема Коши существования и единственности решения ОДУ 1-ого порядка, разрешённого относительно производной. ОДУ с разделяющимися переменными.

Пусть дано ДУ , где функция определена в некоторой области D плоскости , содержащей точку . Если удовлетворяет условиям:

А) – непрерывная ф-я 2 – х переменных в области D.

Б) имеет частную производную ограниченную в D, то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Уравнение, в котором коэф – ты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от , называется ур – ем с разделяющимися переменными. Общий интеграл такого ур – ия имеет вид:

5.      Однородные ОДУ  1-ого порядка. Приведение их к уравнениям с разделяющимися переменными.

Функция называется однородной ф – ией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество .

Путем замены однородное ОДУ 1 – ого порядка приводится к ур – ию с разделяющимися переменными.

6.     Уравнения вида: y’ = f [ (a₁x + b₁y + c₁) / (a₂x + b₂y +c₂) ].

если , то ур – ие однородное и решается с помощью замены . Если хоть одно с отлично от нуля, то ур – ие приводится к однородному.

Если , то вводим новые переменные ,

Если , то , тогда исходное ур – ие имеет вид:

, с помощью подстановки приводим его к ур – ию с разделяющимися переменными.

7.      Линейные ОДУ 1-ого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод Бернулли.

Линейным ДУ 1 – ого порядка называется ур – ие, линейное относительно неизвестной ф – ии и ее производной.

– общее решение однородного.

– общее решение неоднородного, метод вариации произвольной постоянной. (Варьируется произвольная константа).

Метод введения двух функций (Бернулли):

Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: y = u · v, где u, v - функции от x. Дифференцируем: y′ = u′ · v + u · v′ Подставляем в исходное уравнение: .

8.     Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.

С помощью замены ур – ие Бернулли приводится к линейному ур – ию и интегрируется как линейное.

Ур – ие Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное ур–ие, и с помощью подстановки .

Ур – ие называется ур – ем в полных диф – лах, если

где некоторая ф – ия.

9.     Интегрирующий множитель. Способы его нахождения.

В случаях, когда ур – ие не является ур – ем в полных дифференциалах, удается подобрать ф – ию , после умножения на которую левая часть превращается в полный дифф – ал .

Такая ф – ия называется интегрирующим множителем.

Частные случаи нахождения интегрирующего множителя.

1. Если , то , тогда . Для существования интегрирующего множителя  правая часть была ф – ей только от

2. Аналогично, если есть ф – ия только от , то исходное (первоначальное) ур – ие имеет интегрирующий множитель , зависящий только от .

10.   Уравнения первого порядка не разрешённые относительно производной.

К ур – ям 1 – ого порядка, не разрешенных относительно производной относятся:

1. Ур – ия первого порядка n-ой степени относительно .

2. Ур – ия вида

3. Ур – ия Лагранжа и Клеро.

1. Пусть имеем ДУ

Решаем его относительно . Пусть …, - вещественные решения исходного уравнения. Тогда общий интеграл исходного ур – ия выразится совокупностью интегралов:

…, Т.о., через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.

2. Случаи, когда ур – ия не разрешимы относительно .

a) Ур – ие вида разрешимо относительно Полагаем , тогда . Продифференцируем и заменим получим , откуда и . Получаем общее решение ур – ия в параметрической форме:

b) Ур – ие не разрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно но допускает выражение и через некоторый параметр .

3) ур – ие Лагранжа.

ур – ие Клеро.

11.   Уравнения не содержащие явно искомой функции и уравнения не содержащие явно независимой переменной.

Не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно:

Уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда:

  Допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем: .

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: .

Не содержащие явно независимой переменной:

Уравнения вида:

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

 

и т.д. 

  Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

 Если это уравнение проинтегрировать, и совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: =0.