Тема – «Невласні інтеграли».

Завдання № 7. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність.

1. Дослідити на збіжність невласний інтеграл .

Розв’язання

Застосуємо означення невласного інтеграла з нескінченою нижньою границею інтегрування надалі  формулою інтегрування частинами

.

Невласний інтеграл є збіжним.

2. Дослідити на збіжність невласний інтеграл .

Розв’язання

Застосуємо означення невласного інтеграла з нескінченими границями інтегрування. Нехай .

Тема – «Застосування визначеного інтеграла». Завдання № 8. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями. Зробити креслення.

а). Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями и .

Розв’язання

 парабола. Знайдемо її вершину та точки перетину з вісями координат.

; або ,

Якщо , то  вершина параболи.

, або , або .

 пряма лінія.

Знайдемо абсциси точок перетину прямої та параболи:

або .

Для обчислення площі заштрихованої області застосуємо формулу

б). Знайти площу фігури, обмеженої равликом Паскаля .

Розв’язання

Застосуємо формулу . Щоб знайти границі інтегрування  і , необхідно зробити креслення кривої у полярних координатах. Результати обчислення занесемо у таблицю 1.

Таблиця 1


	1				0				1
	3			2,5	2	1,5			1

Т ак як функція  парна, то графік функції будуємо симетрично відносно горизонтальної вісі для значень кутів з проміжку . Для побудови графіку функції при проводимо полярну вісь r; на півпрямих, які складають з віссю r кути, значення яких указано в таблиці 1, відкладаємо стосовні відстані, потім точки послідовно з’єднуємо. Отримаємо замкнену криву, яка називається равликом Паскаля (рис.2).

Площа шуканої фігури дорівнює

б). Знайти площу фігури, що обмежена віссю ОХ та однією аркою циклоїди

.

Розв’язання

Застосуємо формулу . Знайдемо :

(кв.од.).

Завдання № 9. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо вісі фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.

Знайти об’єм тіла обертання кривої , навколо вісі ОХ.

Розв’язання

К рива задана в параметричному вигляді 

це еліпс (рис.3). Шукане тіло обертання - це

еліпсоїд. Знайдемо за формулою

Якщо , то , .

Якщо , то , .

(куб.од.).

Завдання № 10. Обчислити довжину дуги лінії.

1. Обчислити довжину дуги розгортки кола

.

Розв’язання

В нашому випадку крива задана параметрично. Користуємось формулою

,

знаходимо похідні и .

(од.довжини).

2. Обчислити довжину дуги кривої , .

Розв’язання

Крива задана у полярних координатах. Користуємось формулою

.

Знаходимо

;

(од.довжини).

Завдання № 11. Обчислити площу поверхні тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої лініями, навколо вісі ОХ.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі ОХ дуги кривої , .

Розв’язання

або ; .

Користуємось формулою .