Тема 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Интегральное исчисление возникло из потребности создавать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжестей. Основной задачей интегрального исчисления является нахождение функции по выражению ее дифференциала.
Одним из основных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.
Функция
называется первообразной функции
,
если в области определения функции
имеет место тождество
.
Таким образом, первообразная является
решением задачи, обратной дифференцированию.
Пример.
Найти первообразную функции
.
Из таблицы
производных находим
.
Легко убедиться, что решением задачи
также является функция
,
и вообще любая функция вида
,
где
– произвольная постоянная.
Приведенный пример показывает, что задача по отысканию первообразной имеет не единственное решение. Вопрос о различных видах первообразных решается теоремой.
Теорема. Разность двух первообразных функции есть величина постоянная.
Множество всех
первообразных функции
называют неопределенным
интегралом от функции
и обозначают
.
Из доказанной теоремы следует, что если – одна из первообразных функции , то
.
Из определения, а также из правил дифференцирования следуют основные свойства неопределенного интеграла:
;
;
.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Из каждой формулы
дифференцирования получается формула
интегрирования. Например, из формулы
вытекает
.
Таким образом путем обращения таблицы производных приходим к таблице интегралов от основных элементарных функций:
Приведенная таблица интегралов вместе со свойствами неопределенного интеграла позволяют в некоторых случаях производить операцию интегрирования.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
В данном подразделе будут рассмотрены основные приемы, позволяющие преобразовать исходный интеграл к табличному виду.
3.1. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.
Используются свойства неопределенного интеграла и таблица неопределенных интегралов.
Примеры:
;
;
.
3.2.МЕТОД ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Метод подведения
под знак дифференциала основан на
инвариантности формы первого дифференциала
и знании формул:
.
Примеры:
=
=
.
=
=
3.3. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.
Этот метод получается
из правила дифференцирования произведения
.
Находя интеграл от производной
произведения, получим
,
откуда приходим к формуле интегрирования по частям
.
Значение формулы (2) состоит в том, что интеграл в правой части формулы может оказаться проще исходного.
Примеры.
Найти
.
Допустим, что
.
Тогда
.
После подстановки в формулу (2) получим
.
Найти
.
Пусть
,
тогда
.
По формуле (2) имеем
.
При повторном применении формулы интегрирования по частям получим
.
Разрешая данное уравнение относительно искомого интеграла, приходим к результату
.