Задачи для решения в аудитории
На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи, белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга? Ответ:7/9.
В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку? Ответ:
.Четыре билета на елку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам? Ответ:
.Из партии, содержащей 30 изделей, среди которых 5 бракованных наудачу извлекают 5 изделий для контроля. Найдите вероятность того, что среди них хотя бы два изделия являются бракованными. Ответ: 0,63.
10 вариантов контрольных работ, написанных каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются случайным образом среди 8 студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному варианту. Какова вероятность того, что варианты 4 и 5 достанутся рядом сидящим студентам? Ответ:
.С какой вероятностью при подбрасывании трех игральных костей на всех костях выпадет разное количество очков? Ответ.
.В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет 1) выигрышный; 2) невыигрышный?
Ответ:
1)
;
2)
.
Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков, кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число, кратное 6, то выигрывает Олег. Справедлива ли эта игра и если нет, что у кого из мальчиков больше шансов выиграть? Ответ: Да.
Пусть проводится лотерея, и продаются 100 билетов, среди которых 10 выигрышных. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы вероятность выигрыша была больше 0,5? Ответ: шесть.
Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найдите вероятности следующих событий:
;
;
;
;
.
Ответ:
;
.
(Задача о совпадениях) Элементы
случайным образом переставляются (все
перестановок равновероятны). Какова
вероятность
того, что хотя бы один элемент окажется
на своем месте? Найдите
.
Решение.
Пусть событие
заключается в том, что -й элемент остался
на своем месте, причем
.
Аналогично,
Воспользуемся теоремой о вероятности
суммы:
(Задача о парных днях рождения) При каком минимальном числе студентов в группе вероятность того, что хотя бы два из них родились в один день, больше 0,5? (Годы рождения могут и не совпадать, а каждый год состоит из 365 дней.)
Решение.
Пусть
-
число студентов, и будем считать, что
все дни рождения равновероятны. Вычислим
вероятность противоположного события
.
Число способов, благоприятствующих
этому событию - это число размещений из
365 по
.
Всего же имеется
возможностей распределения дней
рождений. То есть
.
Вероятность интересующего нас события
тогда равна
.
|
5 |
10 |
20 |
22 |
23 |
25 |
30 |
40 |
60 |
|
0,027 |
0,117 |
0,411 |
0,476 |
0,507 |
0, 569 |
0,707 |
0,891 |
0,994 |
При
вероятность по крайней мере одного
совпадения равна 0,507>0,5, то есть
- наименьшее число, удовлетворяющее
условиям задачи. При
есть смысл заключать равноправное пари.
В случае же
вероятность выигрыша 0,706, а вероятность
проигрыша - 0,294.
Две точки независимо друг от друга выбираются на отрезке [0;1]. Найдите вероятности следующих событий: 1) координата первой точки меньше координаты второй точки; 2) сумма координат точке меньше 1,5; 3)разность квадратов координат первой и второй точки больше 0,25. 4) модуль разности координат меньше 1/6.
Ответ:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
На отрезок
длины
числовой оси
наудачу поставлена т.
Найдите вероятность того, что меньший
из отрезков
и
имеет длину, меньшую чем
.
Ответ:
.
Датчик случайных чисел выдал два числа
и
в интервале
.
С какой вероятностью корни уравнения
действительные? Ответ:
.На отрезке длины произвольно выбраны две точки. С какой вероятностью из трех полученных отрезков можно составить треугольник? Ответ: 1/4.
На окружности наугад выбирают три точки. Найдите вероятность того, что треугольник с этими вершинами окажется остроугольным. Ответ.
.