Визначення параметрів моделі

Для оцінки параметрів регресій, лінійних за параметрами, застосовують МНК. Метод дозволяє отримати такі оцінки параметрів, за яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки у від теоретичних значень за тих самих значень фактора х мінімальна, тобто

.

Геометричну ілюстрацію МНК показано на рис. 3.

y_i

e_i

Рис. 3. Геометрична ілюстрація методу найменших квадратів

У випадку лінійної регресії параметри знаходять із такої системи нормальних рівнянь:

де n – кількість спостережень; , , , – величини, які можна розрахувати на основі вихідних спостережень за змінними Y і X.

Розв’язавши подану систему, одержимо оцінки невідомих параметрів і :

Зауваження.

1. МНК доцільно застосовувати тоді, коли виконуються такі передумови (гіпотези):

1. математичне сподівання залишків дорівнює нулю;

1. значення вектора залишків ε незалежні між собою й мають сталу дисперсію;

2. незалежна змінна моделі не зв’язана із залишками.

Ці гіпотези відомі як умови Гаусса – Маркова. У разі виконання цих умов МНК дозволяє створити найбільш відповідну емпіричним даним модель. Якщо деякі умови не виконуються, то необхідно застосовувати більш складні методи оцінювання.

2. Для нелінійних регресійних моделей, що є нелінійні відносно пояснювальної змінної, але лінійні за параметрами, МНК застосовують так само, як і у випадку лінійної регресії. До регресії, нелінійної за оцінюваними параметрами, залежно від вигляду функції можна застосовувати лінеаризуюче перетворення (буде описано далі).

Аналіз якості рівняння регресії як математичної моделі

Для практичного застосування економетричної моделі велике значення має її адекватність, тобто відповідність реальному процесу і тим статистичним даним, на основі яких побудовано модель.

Аналіз якості (верифікація моделі) включає перевірку:

• загальної якості рівняння регресії;

• статистичної значущості коефіцієнтів;

• точності моделі;

• властивостей, виконання яких було передбачено в ході оцінювання рівняння, наприклад умов Гаусса – Маркова (не входить до завдань цієї лабораторної роботи).

Перевірка загальної якості рівняння регресії

Для оцінки якості побудованої моделі регресії можна використовувати коефіцієнт детермінації. Коефіцієнт детермінації служить мірою, яка дозволяє визначити: наскільки вдало емпіричне рівняння регресії узгоджується зі статистичними даними; якою мірою варіація залежної змінної визначена варіацією незалежної змінної. На основі коефіцієнта детермінації можна зробити висновок про ступінь значущості вимірюваного зв’язку в економетричній моделі.

Визначення. Коефіцієнт детермінації R² характеризує частку дисперсії, пояснювану регресією, у загальній дисперсії результативного фактора. Коефіцієнт R² обчислюють за формулою

або .

R² змінюється від нуля до одиниці, тобто . За R²=1 виникає функціональний зв'язок, а за R²=0 зв'язок відсутній.

У процесі встановлення того, яке значення R² можна вважати задовільним у ході оцінки моделі, можна керуватися шкалою Чеддока (табл. 4).

Таблиця 4

		(0,3–0,5]	(0,5–0,7]	(0,7–0,9]	>0,9
Якість зв’язку	Слабка	Помірна	Значна	Висока	Дуже висока

Щільність зв’язку певних факторів можна оцінити за допомогою лінійного коефіцієнта парної кореляції r_xy. Нагадаємо, що коефіцієнт парної кореляції r_xy служить мірою лінійної асоціативності (лінійного зв’язку) між двома змінними. Його обчислюють за формулою

або для випадку парної регресії таким чином:

Коефіцієнт кореляції характеризує щільність тільки лінійної залежності й незастосовний для опису нелінійної залежності. Він може набувати значень від – 1 до 1. Хоч r є мірою лінійної асоціативності між двома змінними, це необов’язково означає можливість відображати реальний причинно-наслідковий зв'язок.