Лабораторна робота 1 Аналіз щільності зв’язків між факторами. Основи кореляційного аналізу

Виконавши цю роботу, ви дізнаєтесь:

• які є типи коефіцієнтів кореляції, що описують щільність зв’язку між факторами;

• яким чином обчислювати множинний, парні та частинні коефіцієнти кореляції;

• як перевіряти статистичну значущість коефіцієнтів кореляції.

Ключові поняття: стандартизація даних; парний коефіцієнт кореляції; множинний коефіцієнт кореляції; частинний коефіцієнт кореляції; кореляційна матриця.

Теоретичні відомості

Перша принципова задача, з якою стикається кожен, хто вивчає економіку, – це задача про встановлення взаємозв’язків між економічними величинами. Так, попит на деякий товар, що формується на ринку, залежить від ціни цього товару та ціни конкуруючих товарів, споживчого доходу і т. ін. Витрати, пов’язані з виготовленням будь-якої продукції, залежать від обсягу виробництва, технології, зовнішніх і внутрішніх умов, від цін на основні виробничі ресурси. Для того щоб виявити, чи існує істотна залежність однієї змінної від інших, застосовують кореляційний аналіз.

Кореляційний аналіз – метод дослідження взаємозалежності ознак у генеральній сукупності, які є випадковими величинами з нормальним характером розподілу.

Основними вимогами до застосування кореляційного аналізу є достатня кількість спостережень, наявність сукупностей факторних і результативних показників, а також їх кількісний вимір і відображення в інформаційних джерелах.

Кореляційний аналіз має велике значення в економічному аналізі, вивченні суспільних явищ і процесів. Зокрема, він допомагає виконати такі завдання:

– установити характер і щільність зв'язку між досліджуваними явищами;

– кількісно виміряти ступінь впливу окремих факторів та їх сукупності на досліджуване явище;

– розрахувати кількісні зміни аналізованого явища в ході прогнозування показників та об'єктивно оцінити його тенденцію.

Вагоме значення має кореляційний аналіз у дослідженні кореляційних зв'язків на виробництві, наприклад між рівнем продуктивності праці та наявністю основних засобів, між урожайністю і кількістю внесених добрив, між собівартістю і випуском продукції та ін.

Кореляційний аналіз дає можливість глибше дослідити взаємозв'язки економічних явищ і процесів, визначити вплив факторів на результати господарської діяльності, виявити і підрахувати резерви підвищення ефективності виробництва. Усе це позитивно позначається на здійсненні управлінської, маркетингової та інших видів діяльності, на прийнятті економічно обґрунтованих господарських рішень.

Основними засобами аналізу є коефіцієнти кореляції – парні, частинні та множинні.

Парні коефіцієнти кореляції r_ij показують щільність зв’язку між парами змінних.

Розрахунок парних коефіцієнтів кореляції

Парний коефіцієнт кореляції між будь-якими двома змінними, наприклад між Х і Y, визначають за формулою

Зауваження. Оскільки в чисельнику маємо коефіцієнт коваріації між відповідними змінними, а в знаменнику – їх стандартні відхилення, слід пам’ятати, що кореляція – це просто нормована коваріація між цими змінними, але на відміну від останньої завдяки нормуванню вона не залежить від розмірності цих змінних (тобто є безрозмірна, отже, універсальна для зіставлень).

Повний перелік парних коефіцієнтів кореляції складає так звану кореляційну матрицю r:

r =

Кореляційна матриця завжди симетрична відносно головної діагоналі. Елементи головної діагоналі завжди дорівнюють одиниці.

Кореляційну матрицю можна розрахувати із застосуванням формули

r= (Y*·X*)^T (Y*·X*),

де (Y*·X*) – матриця, складена зі стовпців стандартизованих змінних Y і X.

Стандартизація – перетворення вихідних даних на безрозмірні величини з середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 1. При цьому всі властивості вихідних даних (зміни динаміки, пропорції тощо) зберігаються і для стандартизованих. Стандартизація включає дві процедури – центрування даних (тобто зміщення середини ряду на початок координат) і нормалізацію даних (ділення їх на певну величину), тобто масштабування.

Ми будемо використовувати як масштаб стандартне відхилення ряду. Таким чином, перетворення виконаємо згідно з формулами , , де – середнє значення (дод. 1) змінної Y; – середнє значення змінної X_j; – стандартні відхилення змінних Y і X_j відповідно.

Стандартні відхилення розраховуємо за формулою (приклад для змінної Y):

.

Зауваження.

1. Коефіцієнт кореляції може набувати значень від мінус одиниці до одиниці, тобто . Чим ближче значення r до одиниці за модулем, тим тісніший зв’язок. Від’ємний знак свідчить про зворотний зв’язок (рис. 1, б, г), додатний – про прямий (рис. 1, а, в). Якщо змінні статистично незалежні, коефіцієнт кореляції між ними дорівнює нулю (рис. 1, д – ж).

а б в

г д е

є ж

Рис. 1. Графіки кореляційного зв’язку для різних випадків вибірок:

а) r=1; б) r= –1; в) r близький до одиниці; г) r близький до –1;

д) r додатний, близький до нуля; е) r від’ємний, близький до нуля;

є) r=0; ж) r=0.

2. Оскільки коефіцієнт кореляції характеризує щільність тільки лінійної залежності, він незастосовний для опису нелінійної залежності. Так, на рис. 1, ж є точна залежність Y=X², хоч . Таким чином, нульовий коефіцієнт кореляції не обов’язково означає незалежність.

3. За своєю природою коефіцієнт кореляції симетричний, тобто кореляція між Х і Y (r_XY) така ж, що й між Y і Х (r_YX).

4. Хоч r є міра лінійної асоціативності між двома змінними, це не обов’язково означає існування якого-небудь причинно-наслідкового зв’язку. Треба уникати так званих хибних кореляцій, тобто не можна пов’язувати явища, між якими відсутні реальні причинно-наслідкові зв'язки.

Частинні коефіцієнти кореляції визначають для випадку, коли доводиться враховувати той факт, що на щільність зв’язку між двома змінними можуть впливати інші змінні (оскільки вони, у свою чергу, можуть мати істотний зв’язок із заданими змінними).

Для того щоб оцінити «чисту» щільність зв’язку між парою змінних, розраховують частинний коефіцієнт кореляції – коефіцієнт кореляційного зв’язку між двома змінними, очищеного від впливу інших змінних.

Розглядуваний коефіцієнт позначають як r_{y,xi|x1,...,хn}, де до вертикальної риски вказують, для яких змінних знаходять частинний коефіцієнт кореляції, а після неї – вплив яких змінних при цьому ігнорують (говорять, що ці змінні є фіксовані).