Контрольні запитання й завдання

1. Які завдання виконують у ході побудови моделі регресії?

1. Дайте визначення парної регресії.

2. Які функції найчастіше застосовують для побудови моделі парної регресії?

3. Який вигляд має система нормальних рівнянь МНК у разі лінійної регресії?

4. За якою формулою обчислюють лінійний коефіцієнт парної кореляції r?

5. Як визначають коефіцієнт детермінації? Що він показує?

6. Яким чином перевіряють значущість рівняння регресії й окремих коефіцієнтів?

7. Як будують довірчий інтервал прогнозу в разі лінійної регресії?

8. Що показують коефіцієнт еластичності, середній коефіцієнт еластичності? Як їх обчислюють?

Лабораторна робота 3 Загальна лінійна економетрична модель: побудова і аналіз

Виконавши цю роботу, ви навчитеся:

• оцінювати параметри множинної лінійної моделі за допомогою МНК;

• проводити верифікацію моделі множинної регресії;

• здійснювати економічний аналіз економетричної моделі.

Ключові поняття: множинна регресія; ендогенна змінна; екзогенна змінна; стохастична змінна в моделі; специфікація моделі; параметри регресії; оператор МНК; передумови застосування МНК; умови Гаусса – Маркова; система нормальних рівнянь у матричній формі; статистична значущість економетричної моделі; правило розкладання дисперсії; множинний коефіцієнт детермінації; скоригований коефіцієнт детермінації; F-критерій Фішера; стандартна похибка параметрів моделі; статистична значущість оцінок параметрів; t-критерій Стьюдента; інтервал довіри; інтервальний прогноз; точковий прогноз; похибка прогнозу; коефіцієнт еластичності; бета-коефіцієнт; дельта-коефіцієнт.

Теоретичні відомості

Як відомо, економічні величини формуються під впливом не одного, а цілої низки чинників, між якими можуть бути складні взаємозв'язки. Відтак вплив цих чинників комплексний, і його не можна розглядати як просту суму ізольованих впливів, інакше можна дійти неправильних висновків. Усе це приводить до необхідності застосовувати для дослідження складних економічних явищ багатофакторні моделі: , де – факторні (пояснювальні) змінні; – істинні параметри моделі; – стохастичне збурення (випадкова компонента, включення якої в рівняння зумовлене тими ж причинами, що й у разі парної регресії).

Вибір типу рівняння багатофакторної моделі ускладнений тим, що можна вибрати цілу низку рівнянь, які певною мірою описуватимуть зв'язок між результативним показником і факторними ознаками. Тому зазвичай досліджують декілька моделей. Поширеними в економічному аналізі функціями є: лінійна, степенева, показникова та деякі інші. Однією з найбільш застосовуваних моделей множинної регресії є лінійна модель. Вона досить поширена в макроекономічних розрахунках, у вивченні виробничих функцій, проблем попиту та ін.

Постановка задачі. Нехай є вибірка, що складається з n спостережень залежної змінної Y і пояснювальних змінних (табл. 8).

Таблиця 8

№ з/п	Y	X1	X2		Xk
1	Y1	X11	X12		X1k
2	Y2	X21	X22		X2k
					
n	Yn	Xn1	Xn2		Xnk

За даними вибірки необхідно оцінити параметри лінійної моделі множинної регресії (ЛММР), яку в загальному вигляді записують таким чином: .

Для оцінки параметрів застосовують класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної моделі, заснований на МНК.

Зауваження. МНК застосовний тільки до моделей, лінійних відносно параметрів або звідних до лінійних за допомогою перетворення і заміни змінних.

Припущення моделі. Оцінки , обчислені за МНК, не дозволяють зробити висновок, наскільки близькі знайдені значення параметрів до своїх теоретичних прототипів і наскільки вони надійні. Тому для забезпечення адекватності моделі і її прогностичної здатності потрібно ввести додаткові припущення – теоретичні обмеження на модель.

Для забезпечення адекватності МНК потрібне виконання таких гіпотез:

1. (специфікація моделі в лінійній формі).

2. X_t,i, t = 1,…,n, i = 1,…,k – детерміновані величини, причому в матриці

стовпці лінійно незалежні, тобто ранг цієї матриці дорівнює . Це означає, що жодна з пояснювальних змінних не є строгою лінійною функцією інших пояснювальних змінних.

3. – випадкова величина, що задовольняє умови Гаусса – Маркова:

1. математичне сподівання _i дорівнює нулю: , ;

2. усі пояснювальні змінні не корелюють із випадковою величиною: ;

3. випадковий член має сталу дисперсію: ;

4. відсутній систематичний кореляційний зв'язок між значеннями випадкового члена в будь-яких двох спостереженнях: для будь-яких

5. випадковий член розподілений нормально (не обов'язкова, але часто застосовувана умова).

Пояснення умов Гаусса – Маркова

Умова 1 означає, що випадкове відхилення в середньому не чинить впливу на залежну змінну. У кожному спостереженні випадковий член може бути або додатним, або від’ємним, але він не повинен мати систематичного зміщення. Здійсненність умови , , забезпечує виконання рівності

.

Застосування умови 2 має сенс у тому випадку, якщо факторні змінні є випадковими величинами. У разі класичної моделі, коли – невипадкові величини, ця умова автоматично виконується.

За умовою 3, незважаючи на те що в кожному конкретному спостереженні випадкове відхилення може бути різним, не має бути жодних апріорних причин для того, щоб в одних спостереженнях похибка була істотно більшою, ніж в інших. Здійсненність цього припущення називають гомоскедастичністю (сталістю дисперсії відхилень), нездійсненність цього припущення називають гетероскедастичністю (несталістю дисперсії відхилень).

Якщо є гетероскедастичність збурень, то оцінки параметрів рівняння регресії, отримані на основі МНК, є незміщені, але неефективні (тобто вони не матимуть найменшої дисперсії порівняно з іншими оцінками цього параметра). Тому в разі гетероскедастичності доцільно застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (УМНК).

Умова 4 передбачає відсутність систематичного зв'язку між значеннями випадкового члена в будь-яких двох спостереженнях, тобто

Наявність такого зв'язку називають автокореляцією залишків. Наприклад, якщо випадковий член великий і додатний в одному спостереженні, це не повинно обумовлювати систематичну тенденцію до того, що він буде великим і додатним у наступному спостереженні. Випадкові члени мають бути абсолютно незалежні один від одного. За наявності автокореляції регресія, оцінена за звичайним МНК, дасть неефективні результати. Тому в цьому випадку, як і в разі гетероскедастичності, слід застосовувати, наприклад, УМНК.

Умова 5 зазвичай передбачає, що залишки розподілені нормально. Це пов’язано з тим, що коли випадковий член  нормально розподілений, то так само будуть розподілені й коефіцієнти регресії. Тому ця передумова потрібна для перевірки статистичної значущості отриманих оцінок і визначення для них довірчих інтервалів.

У разі виконання умов Гаусса – Маркова отримані оцінки параметрів є незміщені, спроможні і ефективні, а модель – адекватна і надійна.

Визначення. Оцінка є незміщена, якщо математичне сподівання оцінки дорівнює його істинному значенню: , тобто .

Визначення. Оцінку називають спроможною, якщо вона дає істинне значення за досить великого обсягу вибірки незалежно від значень конкретних спостережень, що входять до неї. Якщо n досить велике, то, очевидно, параметри, визначені за вибіркою, близькі до істинних значень, які можна отримати з генеральної сукупності. Надійність оцінки за збільшення обсягу вибірки зростає.

Визначення. Оцінку називають ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію порівняно з будь-якими іншими оцінками цього параметра, лінійними відносно Y_i.