4.4.Упрощенная трактовка формул для тяги и мощности

, (9)

, (10)

где масса жидкости, протекающей через поперечное сечение следа на бесконечности за секунду равна

, (11)

Замечание: Если осевая вызванная скорость тождественно равна нулю во всех точках поперечного сечения следа на бесконечности ( ), то тяга движителя равна нулю и течение соответствует парадоксу Эйлера-Даламбера. В противоположном случае парадокс Эйлера-Даламбера нарушается, ввиду того, что не выполняется условие отсутствия вызванных скоростей на бесконечности, необходимое для справедливости парадокса Эйлера-Даламбера.

4.5.Условие оптимума для оптимального идеального движителя.

Постановка задачи: Найти оптимальный закон распределения по поперечному сечению струи на бесконечности , обеспечивающий минимум при заданных: , , , .

Замечание: Видно из формулы для эффективности изолированного (упор равен тяге) движителя = TV_A/ P_D , которую в рассматриваемом случае можно переписать так

, (12)

что минимум при заданных и соответствует максимуму эффективности изолированного движителя .

Необходимое условие оптимума для этой изопериметрической задачи вариационного исчисления состоит в одновременном равенстве нулю первых вариаций от тяги и от потерь мощности, а именно

=0; (13)

=0; (14)

Замечание: Кроме того рассматриваемая задача является вырожденной и, поэтому, для ее решения надо использовать следствие леммы Дюбуа - Реймона из классического вариационного исчисления, которое состоит в следующем

Если является некоторой кусочно-непрерывной функцией и если выполняется равенство

=0 (15)

для произвольной кусочно – непрерывной функции , удовлетворяющей условию =0, (16)

то

= const. (17)

Подставляя в (13) и (14) соответствующие выражения для упора и потерь мощности, выполняя операцию взятия первой вариации и сокращая на , можно найти

=0; (18)

=0; (19)

Напомним, что эти равенства должны выполняться одновременно и, поэтому, полагая кусочно - непрерывной функцией положения точки на , используем в рассматриваемом случае лемму Дюбуа – Реймона. Для этого примем

; (20)

; (21)

При этом для того, чтобы обеспечить кусочнную непрерывность функции , примем дополнительное условие

; (22)

Замечание: В принципе можно рассмотреть еще случай, когда , но он не имеет практического значения если рассматривается движитель, а не турбина.

Применяя лемму Дюбуа – Реймона, которая теперь применима при условии (22), можно непосредственно получить искомое условие оптимума

= const. (23)

или в принятых обозначениях

= const.; (24)

Получается квадратное уравнение относительно , коэффициентами которого являются постоянные и постоянная в правой части (24). Нет необходимости выписывать решение этого квадратного уравнения, т.к. ясно, что искомое условие оптимума имеет вид

=const. (25)

Величина постоянной в этом условии оптимума определяется из условия равенства тяги оптимального идеального движителя заданной величине

; (26)

То, что найденное условие оптимума дает искомый минимум можно доказать строго, но это доказательство выходит за рамки данного изложения.