Пример исследования решения задачи:
фермер заплатил a рублей за b литров бензина и дизельного топлива, один литр бензина стоил d рублей, а один литр дизельного топлива — f рублей, a, b, d, f - положительные вещественные числа. Требуется определить, сколько литров бензина и сколько литров дизельного топлива он приобрёл.
Исследование математической модели задачи: каким условиям должны удовлетворять числа a, b, d, f, чтобы задача имела единственное решение, более одного решения, бесконечное множество решений, не имела решений.
1 Анализ системы
Элементами системы, которая описывается в задаче, являются две жидкости: бензин и дизельное топливо.
2 Величины, характеризующие систему и её компоненты
Жидкость характеризуется значениями трёх положительных величин: объёма, стоимости, цены. Единицей измерения объёма служит литр, единицей измерения стоимости — рубль, единицей измерения цены — рубль за литр.
Решая задачу, будем использовать 'осмысленные' обозначения величин:
V1 – объём бензина, единица измерения — литр, V1 > 0;
V2 – объём дизельного топлива, единица измерения — литр, V2 > 0;
c1 – стоимость бензина, единица измерения — рубль, c1 > 0;
c2 – стоимость дизельного топлива, единица измерения —рубль, c2 > 0;
p1 – цена бензина, единица измерения — рубль за литр, p1 > 0, p1 = d;
p2 – цена дизельного топлива, единица измерения — рубль за литр, p2 > 0; p2 = f;
V – общий объём бензина и дизельного топлива, единица измерения — литр,V > 0, V = b;
c – общая стоимость бензина и дизельного топлива, единица измерения — рубль, c > 0, c = a.
Буквы c, V, p являются начальными в английских словах cost — стоимость, volume — объём, price – цена.
3 Модель ситуации, описанной в задаче
Выберем следующие значения основных величин, характеризующих систему:
Фермер купил 10 литров бензина и 20 литров дизельного топлива;
один литр бензина стоил 40 рублей; один литр дизельного топлива стоил 30 рублей.
Значения величин, о которых говорится в задаче, представим в виде таблицы:
Таблица 3
Значения величин, о которых говорится в условии задачи
Наимено-вание величины |
Обозначения, принятые в условии задачи |
Обозначения, принятые в математиче-ской модели задачи |
Единица измере-ния |
Значение величины |
Объём бензина, которое купил фермер |
? |
V1 |
литр |
10 |
Объём дизельного топлива, которое купил фермер |
? |
V2 |
литр |
20 |
Общий объём бензина и дизельного топлива, которые купил фермер |
b |
V |
литр |
30 |
Цена бензина |
d |
p1 |
рубль за литр |
40 |
Цена дизельного топлива |
f |
p2 |
рубль за литр |
30 |
Сумма, которую фермер заплатил за бензин |
? |
- |
рубль |
400 |
Сумма, которую фермер заплатил за дизельное топливо |
? |
- |
рубль |
600 |
Сумма, которую фермер заплатил за бензин и дизельное топливо |
a |
c |
рубль |
1000 |
4 Закономерности, которым подчиняется система:
объём жидкости является аддитивной величиной относительно операции объединения жидкостей, следовательно, общий объём двух жидкостей равен сумме их объёмов;
стоимость жидкости является аддитивной величиной относительно операции объединения жидкостей, следовательно, общая стоимость двух жидкостей равна сумме их стоимостей;
цена жидкости равна отношению её стоимости к её объёму.
5 Отношения между величинами, характеризующими систему и её компоненты:
V1 + V2 = V
- общий объём двух жидкостей равен сумме их объёмов (4);
c1 + c2 = c
- общая стоимость двух жидкостей равна сумме их стоимостей (4);
p1 = c1 / V1,
p2 = c2 / V2
цена жидкости равна отношению её стоимости к её объёму (4), следовательно,
c1 = p1 V1,
c2 = p2 V2
стоимость жидкости равна произведению её цены на её объём.
6 Постановка задачи
Дано:
V = b,
c = a,
p1 = d,
p2 = f.
Определить:
V1, V2
Примечание:
a, b, d, f, V1, V2 > 0;
7 Система уравнений
V1 + V2 = V, (7.1)
p1 V1 + p2 V2 = c, (7.2)
Условия, котрым должны удовлетворять исходные данные и неизвестные значения величин:
V > 0,
c > 0,
p1 > 0,
p2 > 0,
V1 > 0,
V2 > 0.
8 Аналитическое решение системы уравнений 7.1-7.2
V2 = V - V1,
p1 V1 + p2 ( V - V1 ) = c,
V1 ( p1 - p2 ) = c - p2 V,
если p1 не равно p2, то p1 - p2 отлично от нуля
V1 = ( c - p2 V ) / ( p1 - p2 ), (8.1)
V2 = V - V1 = ( c - p1 V ) / ( p2 - p1 ). (8.2)
9 Проверка решения системы уравнений 7.1 — 7.2:
V1 + V2 = ( c - p2 V ) / ( p1 - p2 ) + ( c - p1 V ) / ( p2 - p1 ) = V,
p1 V1 + p2 V2 = p1 ( c - p2 V ) / ( p1 - p2 ) + p2 ( c - p1 V ) / ( p2 - p1 ) = c.
10 Проверка решения задачи с помощью модели ситуации
Подставим в формулы 8.1, 8.2 значения из таблицы 3:
( c - p2 V ) / ( p1 - p2 ) = ( 1000 – 30 · 30 ) / ( 40 – 30 ) = 10 = V1,
( c - p1 V ) / ( p2 - p1 ) = ( 1000 – 40 · 30 ) / ( 30 – 40 ) = 20 = V2.
Таким образом, в модели ситуации, построенной в п. 3, формулы 8.1, 8.2 дают верный ответ.
11 Анализ размерностей
V1 м3 = ( c руб - p2 руб / м3 V м3 ) / ( p1 руб / м3 - p2 руб / м3 ),
м3 = ( руб - руб / м3 м3 ) / ( руб / м3 - руб / м3 ) = руб / ( руб / м3 ),
V2 м3 = ( c руб - p1 руб / м3 V м3 ) / ( p2 руб / м3 - p1 руб / м3 ),
м3 = ( руб - руб / м3 м3 ) / ( руб / м3 - руб / м3 ) = руб / ( руб / м3 ),
12 Исследование решения задачи для случая, когда p1 не равно p2
В предыдущем пункте было доказано, что, если p1 не равно p2, то
V1 = ( c - p2 V ) / ( p1 - p2 ),
V2 = ( c - p1 V ) / ( p2 - p1 ).
Условия V1 > 0, V2 > 0 (6, примечание) выполняются тогда, когда разности
p1 V - с, c - p2 V, p1 - p2
будут иметь один и тот же знак:
либо p1 > p2, c > p2 V, c < p1 V, p1 > c / V > p2,
либо p1 < p2, c < p2 V, c > p1 V, p1 < c / V < p2.
Вывод: отношение c / V должно лежать между p1 и p2.
13 Исследование решения задачи для случая, когда p1 равно p2
Пусть p1 и p2 равны одному и тому же значению p. Тогда
V1 + V2 = V,
V1 + V2 = c / p.
(7.1, 7.2). Вычитая из первого равенства второе, получим:
V = c / p,
следовательно,
p = c / V. (11.1)
Вывод: когда цены бензина и дизельного топлива совпадают со средней стоимостью одного литра купленного топлива, задача имеет бесконечное множество решений, в этом случае значения V1 и V2 удовлетворяют условиям
V1 + V2 = V,
V1 ≥ 0, V2 ≥ 0.
Любому значению V1, лежащему в интервале ] 0, V [, соответствует единственное значение V2, равное V – V1.
Пример. Один литр бензина стоил 20 рублей; один литр дизельного топлива стоил 20 рублей:
фермер купил 100 литров бензина и 100 литров дизельного топлива, он заплатил 4000 рублей;
фермер купил 50 литров бензина и 150 литров дизельного топлива, он заплатил 4000 рублей,
задача имеет более одного решения.
Если c / V не равно p, задача не имеет решения, в этом случае средняя стоимость одного литра купленного топлива не принадлежит открытому числовому интервалу, концами которого служат числа p1, p2, так как этот интервал пуст.
Пример. Один литр бензина стоил 20 рублей; один литр дизельного топлива стоил 20 рублей; фермер купил 100 литров бензина и 100 литров дизельного топлива, за это он заплатил 10000 рублей. Задача не имеет решения, так как за 100 литров бензина и 100 литров дизельного топлива он должен был заплатить не 10000, а 4000 рублей; 10000 / (100 + 100) не равно 20 (интервал ]20, 20[ пуст).