МиНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«тюменский ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

П. И. Ковалёв

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Учебное пособие по дисциплине «Моделирование систем управления» для студентов направления 27.03.04 Управление в технических системах очной и заочной форм обучения

квалификация – академический бакалавр (бакалавр) / бакалавр, бакалавр

форма обучения:

очная (набор 2014 года);

заочная, срок обучения 5 лет, набор 2014 года;

заочная, срок обучения 3 года 2 месяца, набор 2014 года

курс 3 / 3 / 3

семестр 6 / 6 / 5

Код УЦ ООП Б.1.Б.18 / Б.1.Б.18 / Б.1.Б.18

Аудиторные занятия 90 / 16 / 16 часов, в т. ч.:

Лекции 18 / 4 / 6 часов

Практические занятия 36 / 6 / 4 часов

Лабораторные занятия 36 / 6 / 6 часов

Самостоятельная работа – 90 часов, в т. ч.:

без преподавателя 81,0

с преподавателем:

со студентом 3,6

с группой 5,4

Курсовая работа 6 / 6 / 6 семестр

Контрольная работа - отсутствует

Вид промежуточной аттестации:

Экзамен 6 / 6 / 6 семестр

Очная форма обучения, распределение нагрузки:

6-й семестр, в неделю 1час лекций, 2 часа практических занятий, 2 часа лабораторных работ

Общая трудоёмкость 180 часов, 5 зет

Тюмень

ТюмГНГУ

2017

Метод исследования системы путём выделения её компонентов, изучения их свойств, их связей друг с другом и с объектами окружения системы, называется анализом системы. Для того, чтобы понять структуру сложных систем и закономерности протекающих в них процессов, строят её модели. Такими моделями служат описания систем с помощью естественного языка (русского, английского, китайского и т. п.), к которым добавляются специальные термины, математические символы, схемы, графики, таблицы.

Мы будем решать задачи с буквенными обозначениями исходных данных. Условие подобной задачи описывает множество сходных друг с другом систем.

Положительная величина u называется аддитивной относительно операции S, если для любых объектов A, B справедливо следующее утверждение:

пусть значение величины u для объекта A равно a, её значение для объекта B равно b и в результате выполнения операции S над объектами A, B получается объект C, тогда значение величины u для объекта C равно a + b.

Решите следующие задачи:

в первом резервуаре a кубических метров жидкости, а во втором резервуаре b кубических метров жидкости; a, b — положительные вещественные числа. Определите общее количество жидкости в двух резервуарах;

первоначально в резервуаре было a кубических метров жидкости. Часть воды вытекла из резервуара через открытый кран, и количество жидкости в резервуаре уменьшилось на b кубических метров. Когда кран закрыли, включили насос, который накачал в резервуар c кубических метров жидкости; a, b, c— положительные вещественные числа. Определите количество жидкости в резервуаре после того, как выключили насос.

Объясните, какое свойство физической величины Вы использовали в ходе решения задач.

Процент

Иногда в качестве единицы измерения используют одно из значений положительной величины, характеризующей систему, её компоненты или протекающий в ней процесс. В таком случае удобно выражать результат измерения в процентах. Процент — это дольная единица измерения, она равна одной сотой значения выбранной единицы измерения.

Пример. Согласно докладу правительства о реализации государственной политики в сфере образования, представленного Федеральному собранию в 2015 году, «численность студентов вузов сократилась за прошедший год на 7,8% и составила 5 209 тыс. человек» (видимо, прошедшим является 2014 - 2015 учебный год).

Таким образом, в докладе используется две единицы измерения количества студентов:

тысяча человек ( на 1-е сентября 2015 года в Российской Федерации 5 209 тыс студентов);

процент — сотая часть количества студентов на 1-е сентября 2014 года.

В докладе не указано количество студентов в на 1-е сентября 2014 года, поэтому обозначим его буквой x. В течение учебного года оно сократилось на какое-то человек, это количество обозначим буквой y. Количество студентов на 1-е сентября 2015 года составляет 5209 тысяч, это количество обозначим буквой a, число 7,8 (количество процентов) обозначим буквой b.

Числовые выражения x, y, a связаны друг с другом разностным отношением

x – y = a,

единицей измерения служит тысяча человек.

Число b представляет собой числовое выражение значения y, измеренное с помощью единицы измерения 1% x:

b = ( y / ( 1% x )).

Используем свойство абсолютности отношений значений положительной величины:

( y / ( 1 тысяча )) / ( x / ( 1 тысяча )) =

( y / ( 1% x ) / ( x / ( 1% x ) =

= b / 100.

y / x = b / 100,

100 y = b x.

Получается следующая система уравнений:

x – y = a,

100 y = b x.

Решение системы уравнений:

y = x – a,

100 ( x – a ) = b x,

( 100 – b ) x = 100 a,

x = 100 a / ( 100 – b ) = a / ( 1 – b / 100)),

x = 5209 / ( 1 – 0,078 ) = 5209 / 0,922 = 5649,674620390456.

Иногда в математических выкладках сохраняют обозначения единиц измерения, это позволяет устранять ошибки, связанные с нарушением размерностей:

x тыс – y тыс = a тыс,

100% · y тыс = b% · x тыс.

Решение системы уравнений:

y тыс = x тыс – a тыс,

100% · ( x тыс – a тыс) = b % · x тыс,

( 100% – b% ) · x тыс = 100 · a тыс,

x = 100% · a тыс / ( 100% – b тыс ) = a тыс / ( 1 – b% / 100% )),

x = 5209 тыс / ( 1 – 0,078 ) = 5209 тыс / 0,922 =

= 5649,674620390456 тыс.

Округляя значение, стоящее в правой части равенства, до целых, получим ответ: на первое сентября 2014 года в высших учебных заведениях числилось 5650 тысяч студентов (с точностью до тысячи человек).

Высказывание «a больше b на c процентов» означает, что:

a, b – положительные значения одной и той же величины;

a больше b;

a – b = ( c / 100) · b.

Аналогичное высказывание «a меньше b на c процентов» означает, что:

a, b – положительные значения одной и той же величины;

a меньше b;

b – a = ( c / 100 ) · b

поскольку a положительно, c в этом случае меньше 100 процентов.

Решите следующие задачи

первоначально в резервуаре было a кубических метров жидкости. Через открытый кран из резервуара вытекло b кубических метров жидкости; a, b — положительные вещественные числа. Определите, на сколько процентов уменьшилось количество жидкости в резервуаре;

первоначально в резервуаре было a кубических метров жидкости. Часть воды вытекла из резервуара через открытый кран, и количество жидкости в резервуаре уменьшилось на b кубических метров. Когда кран закрыли, включили насос, который накачал в резервуар c кубических метров жидкости; a, b, c— положительные вещественные числа. Определите, на сколько процентов уменьшилось количество жидкости в резервуаре после того, как выключили насос;

первоначально в резервуаре было a кубических метров жидкости. Часть воды вытекла из резервуара через открытый кран, и количество жидкости в резервуаре уменьшилось на b кубических метров. Когда кран закрыли, включили насос, который накачал в резервуар c кубических метров жидкости; a, b, c— положительные вещественные числа. Определите, на сколько процентов увеличилось количество жидкости в резервуаре после того, как выключили насос;

Дольная концентрация по массе

Дольной концентрацией данного вещества по массе в смеси или в соединении называется отношение массы вещества к массе смеси или соединения:

k = m / M,

где M – масса смеси или соединения, m – масса вещества в смеси или соединении. В дальнейшем дольную концентрацию по массе будем называть просто концентрацией, её обычно выражают в процентах:

k% = m · 100% / M.

Масса - аддитивная величина относительно операции смешивания растворов. Дольная концентрация раствора по массе не является аддитивной величиной относительно операции смешивания растворов.

Задание. Объясните, почему дольная концентрация расвора по массе не является аддитивной величиной относительно операции смешивания растворов. Приведите примеры.

Исследуйте решения задач:

в резервуаре содержалось a килограммов раствора, в котором концентрация соли составляла b процентов. Определите, концентрацию соли в растворе после того, как в резервуар добавили c килограммов воды; a, b, c – положительные вещественные числа, b < 100;

максимальная концентрация раствора соли при заданной температуре составляет a процентов. В резервуар, содержащий b килограммов воды, добавили c килограммов соли и тщательно перемешали жидкость; a, b, c — положительные вещественные числа, a < 100. Требуется определить концентрацию соли в полученном растворе;

в испаритель налили a килограммов раствора, в котором концентрация соли составляла b процентов. После испарения в испарителе осталось c килограммов раствора, максимальная концентрация соли в растворе составляет d процентов; a, b, c, d – положительные вещественные числа, b < 100 d < 100. Определите концентрацию соли в растворе после завершения испарения;

концентрация раствора соли в первом резервуаре была равна a процентов, концентрация раствора соли во втором резервуаре была равна b процентов. Смешав растворы, получили c килограммов раствора соли, концентрация которого составила d процентов; a, b, c, d — положительные вещественные числа, a < 100, b < 100, d < 100. Требуется определить, какое количество раствора было в каждом резервуаре до того, как растворы смешали.