3.3.2. Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции z_n+1=F(z_n), где z - комплексное число, а F- некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится, на экран выводится точка.

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: 

• С течением времени стремится к бесконечности. 

• Стремится к нулю. 

• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы. 

• Поведение хаотично, без каких либо тенденций. 

Фракталы Пьера Фату.

К  алгебраическим фракталам относят фракталы Фату.

Фату изучал рекурсивные процессы вида . Начав с точки   на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.  Такая последовательность точек называется орбитой   при преобразовании 

Фату нашел, что орбита   при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения  . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. 

Множество Мандельброта.

Первым, кто применил компьютер для расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.

Множество Мандельброта — классический образец фрактала. Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.  Множество Мандельброта — это множество таких точек  С на комплексной плоскости: Функционально множество Мандельброта определяется как        

z_n+1=z_n² + C.

Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняется некоторое достаточно большое количество раз, это выражение и каждый раз проверяя абсолютное значение z_n. Если это значение больше 2, то рисуем точку с цветом равным номеру итерации, на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета.  Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они-то и являются фрактальными. На границах этого множества ведет себя непредсказуемо - хаотично.

Бассейны Ньютона

Ещё один известный пример такого рода — Бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления   к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер  , при котором   превысит фиксированную большую величину  ).

Биоформы— фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

(Приложение 2)