3.3. Классификация фракталов

Основное свойство – самоподобие:

• точное (геометрические фракталы);

• приближенное (алгебраические фракталы).

3.3.1. Геометрические фракталы

Основными представителями группы геометрических фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является фрактал "Снежинка Коха". Строится она на основе равностороннего треугольника.  Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.

Каждая сторона  делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной  стороны. Затем пририсовываются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на средней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны). Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. Этот процесс можно продолжать бесконечно долго. 

Треугольник Серпинского.

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Лента Мебиуса (лист Мебиуса, петля́ Мебиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство  . Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августо Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и соединить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

(Приложение 1)