5.Визначення планових координат пунктів опорної сітки

Пряма кутова засічка

Прямою кутовою засічкою називають побудову на місцевості, в якій координати невідомого пункта Р визначають за координатами вихідних пунктів А і В і виміряними на цих пунктах кутами А і В (рис. 1.1)

Рис.1.1 Пряма одноразова засічка

Рис.1.2 Пряма багаторазова засічка

Засічку, показану на рис.1.1 називають прямою одноразовою засічкою.

В прямій одноразовій засічці відсутній контроль виміряних кутів, отже координати пункта Р також визначаються безконтрольно.

На рис.1.2 показаний випадок, коли пункт Р визначається за координатами трьох вихідних пунктів А,В і С і виміряними на цих пунктах кутами А1, В1 та А2, В2.

Таку засічку називають багаторазовою.

Пряма багаторазова засічка фактично являє собою дві одноразових засічки, які можуть бути розв’язані окремо, а отже, координати пункта Р будуть знайдені з контролем.

Формули для обчислення координат пункта Р із прямої одноразової засічки

Отримаємо формули для визначення координат пункта Р із прямої одноразової засічки.

З трикутника АВР запишемо:

,

(5)

де дирекційний кут

,

(6)

причому дирекційний кут АВ може бути знайдений за координатами пунктів А і В з розв’язання оберненої геодезичної задачі.

Підставимо (5) в (6).

Матимемо

(7)

або

.

(8)

Але

,

(9)

.

(10)

Підставимо вирази (9) і (10) в (8).

Отримаємо

.

(11)

В правих частинах виразів (11) винесемо sinA за дужки:

.

(12)

Замінимо вираз  через ctgA і отримаємо

.

(13)

З трикутника АВР за теоремою синусів запишемо

.

(14)

Скористаємося формулою для синуса суми кутів:

.

Домножимо обидві частини цієї рівності на sinA

.

Поділимо чисельник і знаменник правої частини на sinBsinA. Отримаємо

.

(14)

Підставимо значення  в формули (13):

.

(15)

звідки остаточно запишемо

.

(16)

Формули (16) називають формулами котангенсів або формулами Юнга.

Звертаємо увагу, що формули (16) можна застосовувати у випадку, коли пункт А — лівий, пункт В — правий (див. рис. 1.1) та коли між пунктами А і В існує видимість.

Задача передбачає визначення координат точки, з якої здійснюються спостереження трьох пунктів з відомими координатами, в ході спостережень вимірюються кути між напрямками з точки стояння на пункти, що спостерігаються (рис. 2).

Рисунок 2. Схема оберної кутової засічки

 

Відомі: (x_А , y_А), (x_Б , y_Б), (x_С , y_С)

Визначені в ході вимірювань: β_АБ, β_БС

Знайти: (x_Р , y_Р)

Рішення:

1. Рішення задачі виконується за формулою Праніс-Праневіча.

2. Контроль різностей координат:

3. Розраховуємо прирости координат точки Р відносно точки Б:

 ;

 ;

 .

4. Визначаємо координати точки Р:

 ;

 .