Задание № 5

Банк имеет операционистов для обслуживания вкладчиков. Поток клиентов поступает в банк с интенсивностью . Средняя продолжительность обслуживания операционистом одного вкладчика

Определить:

1. вероятность простоя операционистов;

2. вероятность отказа клиенту в обслуживании;

3. вероятность обслуживания клиента;

4. среднее время ожидания клиента в очереди;

5. коэффициент занятости операционистов.

В-нт	12
	3
	50
	3

Решение:

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ *t_обс = 50*3/60 = 2.5

Интенсивность нагрузки ρ=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 10.8% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 6.5 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 2.5¹/1! * 0.108 = 0.271

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 2.5²/2! * 0.108 = 0.339

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 2.5³/3! * 0.108 = 0.282

4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 28% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.282 = 0.718

Следовательно, 72% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

n_з = ρ * p_обс = 2.5* 0.718 = 1.795 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 3 - 1.795 = 1.2 канала.

7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = p_обс * λ = 0.718 * 50 = 35.891 заявок/час.

9. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк * t_обс = 0.282 * 0.05 = 0.0141 час.

10. Среднее время простоя канала.

t_п.к. = t_обс*(1-p_отк)/p_отк = 0.05 * (1-0.282)/0.282 = 0.127 час.

12. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ *Q = 2.5 * 0.718 = 1.795 ед.

14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа:

λ • p₁ = 14.1 заявок в час.

Номинальная производительность СМО:

3 / 0.05 = 60 заявок в час.

Фактическая производительность СМО:

35.891 / 60 = 60% от номинальной производительности.

Список использованных источников

1. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 430 с.

2. Кошуняева Н.В., Па трои оси H.H. Теори я массового обслуживани я (практикум по решени ю задач) / САФУ имени М.В. Ломоносова. - Архангельск; САФУ, 2013 - 107 с.

3. Новикова, Н.В. Экономико-математические методы и модели: конспект лекций / Н.В. Новикова [Электронный ресурс]. – Мн., 2010. – Режим доступа: http://www.bsu.by/Cache/pdf/217743.pdf,

4. Орлова, И.В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач / И.В. Орлова. – М.: Вузовский учебник: Инфра-М, 2013. – 140 с.

5. Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И. В. Орлова. – М.: Юрайт, 2013. – 328 с. 5. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар [и др.]; под общ. ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000. – 411 с. 6. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / С.Ф. Миксюк [и др.]; под общ. ред. С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова. – Мн.: БГЭУ, 2006. – 218 с.