Задание № 4

На предприятии имеется три станка, каждый из которых может выполнять 5 видов работ с разным временем, которое дано матрицей времени . Каждую работу из трех видов единовременно может выполнять только один станок, и каждый станок можно загружать только одной работой. Определить, сколько времени и какие три вида работ должны выполнить станки, чтобы суммарная затрата этого времени была наименьшей.

В-т
12	6	8	9	5	6	9	7	8	6	5	8	7	9	8	7

Решение:

Исходная матрица имеет вид:

6	8	9	5	6
9	7	8	6	5
8	7	9	8	7

Математическая модель задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij, (4.1)

при условиях:

∑x_ij = n, i = 1,2,…, m, (4.2)

∑x_ij = m, j = 1,2,…, n, (4.3)

xij ≥ 0, целые

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные x_ij принимают значения 1, если i-й станок выполнит j-ю работу. Если данное условие не выполняется, то x_ij=0.

Ограничения по станкам:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ = 1

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ + x₂₅ = 1

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ + x₃₅ = 1

Ограничения по работам:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 1

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 1

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 1

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ = 1

x₁₅ + x₂₅ + x₃₅ = 1

Целевая функция:

6x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 5x₁₄ + 6x₁₅ + 9x₂₁ + 7x₂₂ + 8x₂₃ + 6x₂₄ + 5x₂₅ + 8x₃₁ + 7x₃₂ + 9x₃₃ + 8x₃₄ + 7x₃₅ → min

Для устранения дисбаланса добавляем дополнительные строки.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

1	3	4	0	1	5
4	2	3	1	0	5
1	0	2	1	0	7
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент.

1	3	4	0	1
4	2	3	1	0
1	0	2	1	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

Фиксируем нулевое значение в клетке (1, 4). Другие нули в строке 1 и столбце 4 вычеркиваем. 

Фиксируем нулевое значение в клетке (2, 5). Другие нули в строке 2 и столбце 5 вычеркиваем. 

Фиксируем нулевое значение в клетке (3, 2). Другие нули в строке 3 и столбце 2 вычеркиваем. 

Фиксируем нулевое значение в клетке (4, 1). Другие нули в строке 4 и столбце 1 вычеркиваем. 

Фиксируем нулевое значение в клетке (5, 3). Другие нули в строке 5 и столбце 3 вычеркиваем. 

В итоге получаем следующую матрицу:

1	3	4	[0]	1
4	2	3	1	[0]
1	[0]	2	1	[-0-]
[0]	[-0-]	[-0-]	[-0-]	[-0-]
[-0-]	[-0-]	[0]	[-0-]	[-0-]

Количество найденных нулей равно k = 5. В результате получаем эквивалентную матрицу Сэ:

1	3	4	0	1
4	2	3	1	0
1	0	2	1	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Методом проб и ошибок определяем матрицу назначения Х, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в квадратах) вычислить минимальную стоимость назначения.

1	3	4	[0]	1
4	2	3	1	[0]
1	[0]	2	1	[-0-]
[0]	[-0-]	[-0-]	[-0-]	[-0-]
[-0-]	[-0-]	[0]	[-0-]	[-0-]

C_min = 5 + 5 + 7 = 17

Таким образом

1 станок должен выполнить 4-ю работу

2 станок должен выполнить 5-ю работу

3 станок должен выполнить 2-ю работу